解析數論是利用數學分析，主要是用複分析的方法來解決數論問題的一種方法，從歷史的發展歷程來看，可以分為經典解析數論與現代解析數論，當然這一划分適用於任何一門學科。
基本介紹
- 中文名：解析數論學
- 外文名：Analytic Number Theory
- 分類：經典解析數論，現代解析數論
發展狀況,定義,學習方法,
發展狀況
數論是一門綜合性很強的數學學科，在幾百年的系統發展中，人們已經創造和發展了篩法（包括大篩法、小篩法等）、圓法、三角和方法、密率等一些強有力的經典方法；同時，Tauber型定理及Turan的冪和方法都得到了相當程度的發展與套用，但目前來講還不如上面那些方法更有效；Fermat大定理的解決使得人們更加認識到模形式這一方法的重要性。
定義
解析數論是利用數學分析，主要是複分析的方法來解決數論問題的，從歷史的發展歷程來看，可以分為經典解析數論與現代解析數論，當然這一划分適用於任何一門學科。經典的解析數論基本上採用的就是上面最初說的那幾種方法，這些方法已經解決了並正在解決著許多經典問題，但是仍有許多問題尚未被解決，而新的問題又在以新的速度誕生。所以，人們又發展了許多新的方法，這些方法就構成了現代解析數論的主要內容，當然這些內容會隨著歷史的發展不斷的更新。例如，Green-Tao在2004年解決了“存在任意長的素數算術級數”的問題，他們綜合了分析、組合、遍歷論等多個學科的諸多思想。這就告訴我們，有些難題之所以尚未解決一方面是因為我們的方法還不夠先進，但另一方面我們也應該認識到，我們並沒有把現有的方法發揮到極致，不同方法的融合應該使我們的理論層次更上一層樓。
與解析數論相關的有代數數論、組合數論、數的幾何、算術代數幾何以及所謂的機率數論等。這些學科的發展從歷史上來講都對解析數論的發展起過一定的促進作用，同時它們也從解析方法裡面汲取了營養。就目前來講，不同學科間的融合已經成為一種趨勢，因為許多問題的解決只在某一學科內部解決往往是行不通的。
不管是那門學科，都是以問題為生命力的，以問題的解決為主要發展目標的，其間發展起來的理論只是為以後新的問題的解決提供一種參考，同時並作為人類智慧的又一次提升而存在。所以，問題永遠是核心。我們所具備的首先是對這些問題的全方位了解，但這一點是幾乎無法做到的，但至少我們應該有這個目標。再者，許多大問題的解決需要融合不同學科的許多方法，這就要求人們應該了解相關學科的最起碼的理論與方法。所以作為我們這些入門者，我覺得不應該朝準某一目標深深地紮下去，而是博與廣：在保證自己主要方向的前提下，應更多的學習掌握其他學科的理論與方法。
學習方法
首先應該熟練掌握初等數論中的基本原理與想法，然後按部就班的研讀潘承洞、潘承彪的《解析數論基礎》，這本大辭典可以給讀者對解析數論一個既初步又系統的認識。然後，可以接觸一些不同學者的文章，看看人們在沿著一種什麼思路做問題，並嘗試去完善它。當然就是在看前面《解析數論基礎》的同時，對書裡面有關分析方面的內容可以自己加以補充，並藉此機會鍛鍊自己的分析功底；也可以接觸一些小問題，看一些較為初等的文章，這樣可以使我們在讀書的同時思考問題。當然，把一本《解析數論基礎》讀完碩士生生活已經過得差不多了，如果平時讀書並思考問題，然後試著去做一些小問題的話，最後碩士學位論文應該也不成問題。這樣，三年最基本的學習要求已經達到。但如果做長遠打算的話，我覺得應該不辭辛苦的去學一些其他基礎知識，如組合計數理論特別是獲得一些組合恆等式的組合技巧，交換代數特別是Noether環、Artin環、Dedkind環等與代數數論、代數幾何相關的代數知識，函式論特別是整函式、亞純函式的解析理論，以及代數數論、組合數論、數的幾何、算術代數幾何的一些最最基本的內容，至於機率數論，有時間也不妨了解一下。
