《動力系統的混沌和維數理論》是依託汕頭大學，由李健擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：動力系統的混沌和維數理論
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：李健
- 依託單位：汕頭大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究拓撲動力系統中的混沌和維數理論這兩個方面。一方面，我們研究由連續映射誘導的動力系統的混沌行為。弱混合系統的複雜性備受大家的關注，我們將研究整個空間能否作為弱混合系統的混沌集這個問題和弱混合系統具有疊代不變一致分離的混沌集的條件。我們還將研究平均意思下的混沌，敏感性和等度連續屬性，以及它們與其它動力學性質之間的關係。另一方面，我們研究amenable群作用下動力系統的維數理論，側重於研究拓撲熵，測度熵，空間Hausdorff維數和混沌集的Hausdorff維數之間的關係。
結題摘要
本項目主要研究拓撲動力系統的混沌現象以及相關問題。取得的研究成果分為以下幾個方面：（1）研究混沌發生的條件和各種混沌之間的關係。證明了傳遞系統存在不變的一致分離的混沌集若且唯若它有不動點和非一致剛性的，構造了一個弱混合一致剛性的完全混沌系統；撰寫綜述系統總結了最近拓撲動力系統中混沌研究的最新進展。（2）弱混合的局部化相關研究。用Furstenberg族的方法描述了正拓撲熵系統和non-PI極小系統出現的弱混合集的性質；得到了弱混合集與其它動力學性質，包括proximal核、Li-Yorke混沌偶對和敏感集，之間的關係；證明了Δ-弱混合集是多重熊混沌的和正拓撲熵蘊含Δ-弱混合集。（3）研究平均意義下的混沌、敏感和等度連續性質。證明了一個序列只要滿足逐點遍歷定理和一個弱增長的條件，那么正拓撲熵蘊含沿這個序列發生平均意義下的混沌。特別地由多項式生成的序列和素數序列滿足條件。用剖分的方法研究了遍歷測度的平均敏感性，並得到它與測度序列熵之間的聯繫。證明了拓撲圖上的連續映射具有零拓撲熵若且唯若任意點的軌道閉包具有平均等度連續性質，從而得到具有零拓撲熵的拓撲圖系統滿足Sarnak猜測。（4）傳遞系統分類相關研究。得到了滿足多重回復性質的傳遞系統的刻畫；證明了具有偽軌跟蹤性質的傳遞系統存在加法機器子系統，每個不變測度可以被集中在加法機器的幾乎一對一擴充的子系統的測度逼近；還研究了半群作用的多重傳遞和Δ-傳遞屬性。（5）Amenable群作用的混沌理論和維數相關的研究。證明了可數離散的amenable群作用的正拓撲熵系統蘊含沿著所有無限子序列時間集發生Li-Yorke混沌；在符號系統和Gauss系統分別構造了一個處處具有滿Hausdorff維數的多重熊混沌集。
