遍歷理論中的複雜性與族

《遍歷理論中的複雜性與族》是依託華南理工大學，由匡銳擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：遍歷理論中的複雜性與族
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：匡銳
• 依託單位：華南理工大學

項目摘要

保測動力系統複雜性的研究有兩個重要的概念：混合性和熵。不同的混合性對應了不同的複雜性，不同的熵也對應了不同複雜性的系統。本項目希望通過族來系統的研究和刻畫動力系統的複雜性，主要有兩個方面，一個是建立族與混合性對應的普適性理論，以便利用族的性質去更系統、更方便地研究系統的混合性，特別是關於 Rohlin 問題（強混合推出多重強混合）的研究。第二方面是通過熵維數細化零熵系統的複雜性程度，由於空間結構的不同，不能像在拓撲動力系統里那樣定義熵維數，本項目試圖通過序列熵來定義熵維數，不同的維數對應不同的序列，這些序列具有不同的“密度”。同時，我們還將研究兩者之間的聯繫，在對系統作一些熵維數的限制下考慮Rohlin問題。

結題摘要

本項目主要是從混合性和熵兩個角度去研究動力系統的複雜性。從混合性角度出發，主要是圍繞Rohlin問題，即強混合能否推出多重強混合這一問題進行研究，試圖利用族的性質能夠在這一問題上有所突破，在把弱混合情形的方法套用到強混合情形時遇到困難，嘗試了一些方法取得了一定進展，但仍未能在這一問題取得本質突破。從熵的角度出發研究系統複雜性，尤其是熵維數刻畫零熵系統，首先我們研究了非自治系統與其因子系統的熵之間的關係，得到了類似與經典動力系統關於熵的恆等式。其次還把熵維數的概念引入到更一般的群作用系統中去，研究了amenable群作用下的拓撲熵維數理論，研究了極小子轉移系統的平均拓撲熵維數。最後，在非自治系統中引入了隨機的概念，得到了統計意義下關於熵的一些恆等式的刻畫。