動力系統和組合數論中若干問題的研究

《動力系統和組合數論中若干問題的研究》是依託中國科學技術大學，由葉向東擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：動力系統和組合數論中若干問題的研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：葉向東
• 依託單位：中國科學技術大學

中文摘要

本項目圍繞動力系統和組合數學中的若干重要問題開展研究。研究Furstenberg不交性問題，尋找其更好的充分或者必要條件；研究極小點回復到其鄰域時間集的刻畫，以期證明極小弱乘積回復點不一定是distal點。研究序列熵，希望得到空間X上所有連續映射極大熵組成集合可能的取值。研究Bohr問題，希望對一類相對稠密子集得到Bohr問題的正面回答，進而尋求Bohr問題可能的反例。研究一般群作用下極大冪零因子的存在性問題和其它因子問題。研究多重遍歷平均逐點收斂問題，希望在相關問題的研究上取得突破。研究動力系統在Hilbert方體中的實現問題和其它回復性問題。繼續熵的可降性和局部熵理論的研究。這些問題的研究將加深人們對於動力系統回復性、複雜性和其在組合數論中的套用的理解，促進相關理論的進一步發展。

結題摘要

本項目圍繞《 動力系統和組合數論中若干問題》進行研究。負責人與他人合作共完成論文16篇（沒有統計其他參加者的工作），出站博士後3人，博士畢業4人，碩士畢業2人。 1977年Furstenberg建立了遍歷系統的結構定理，並用此結構定理給出了著名的Szemeredi定理的遍歷理論證明，這是Furstenberg獲得Wolf獎的主要工作之一。由Furstenberg的工作自然產生了是否有多重遍歷定理這一重要問題。 2005年Host與Kra使用冪零因子為工具，得到了平均意義下多重遍歷定理。由於冪零因子在遍歷系統研究中的重要性，在拓撲動力系統中如何得到它的最大冪零因子便成為一個自然需要解決的問題。這方面的突破是最近Host-Kra-Maass的工作，對於極小distal 系統證明了高階局部漸近關係為等價關係，說明相對它的商空間為原系統最大冪零因子。邵松-葉向東在2012 年對於一般極小系統解決了這一問題。本項目一個重要的工作是研究了兩個與冪零系統密切相關的問題：調和分析中著名的Bohr問題以及調和分析和微分方程等領域中幾乎自守性質的研究。首先，我們給出了高階Bohr問題的一個自然提法為：在相對稠密集中出現長為k的等差數列的公差全體是否為高階冪零序列？證明了問題在忽略一個零密度集合意義下是成立的。另外我們引入高階幾乎自守系統的概念，並且進行了細緻的研究，給出它的各種刻畫。這部分結果2016年發表在Mem. Amer. Math. Soc.上. 與之相關的另外2個結果，已經接受發表。項目的另一個主要成果是研究了C*-代數形式的Sarnak猜測，對零熵的非交換環面自同構證明其滿足Sarnak猜測，相關論文2017年發表在J. Differential Equations上。最近，黃文-王之任-葉向東通過引入一種新的複雜性函式，證明了對於複雜性低的系統，Sarnak猜測成立。此文已經投稿。