《拓撲動力系統中的多重傳遞及其相關問題》是依託華南師範大學，由呂傑擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：拓撲動力系統中的多重傳遞及其相關問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：呂傑
- 依託單位：華南師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究拓撲動力系統中的多重傳遞性, 即研究由定義在緊緻度量空間上的連續自映射的某些疊代的乘積映射的傳遞性及其相關問題. 我們已經藉助於開集碰撞時間集和點的族傳遞的概念對多重傳遞性給出了等價刻畫, 藉此,我們將探索從沿某序列的複雜性函式和弱不交性等其它角度給出多重傳遞屬性進一步刻畫, 揭示一個映射的某些疊代誘導的若干個乘積系統在傳遞性質方面的內在關聯, 並且討論多重傳遞屬性與混沌等其它動力學性質的關係, 以期獲得在傳遞系統的分類方面的相關結果, 並給出多重傳遞屬性在組合數論等其它學科的套用.
結題摘要
我們主要關注拓撲動力系統的多重傳遞屬性與其它動力學性質之間的內在關聯。由於傳遞性明顯是一個整體性質，而許多刻畫動力系統複雜性的概念是局部性質，諸如Li-Yorke混沌、分布混沌以及拓撲熵，因此我們需要從的傳遞屬性的局部化入手。我們引入了delta-弱混合集的概念，證明了一個子集是delta-弱混合集的充要條件是該集合中存在一個由稠密的 Mycielski 集構成的熊混沌集，並且該 Mycielski 集可以表示為一個單調遞增的 Cantor 集序列的並集，而這個序列中的每一個Cantor 集仍為熊混沌集。 系統中開集間的碰撞時間集的密度也是動力系統研究的一個重要方面。我們證明了：對於正熵系統而言，存在正上 Banach 密度碰撞的混合集；由這種正上 Banach 密度的混合集所構成的子集形成了在超空間中由熵集構成的子空間中的一個剩餘集；而對於非 PI 的極小系統而言，一定存在逐段 Syndetic 混合集。 為了深入理解 Furstenberg 的經典的回覆定理，我們引入van der Waerden 系統的概念，並得出了此類系統的相關性質。證明了一個系統是 van der Waerden 系統若且唯若該系統的每一傳遞點進入任何一個非空開集的時間集含有任意有限長的算術級數（稱這種點是一個AP-傳遞點）；一個點是 AP-傳遞點若且唯若該點的軌道閉包系統形成一個van der Waerden 系統；當一個動力系統存在弱混合且具有滿支撐的不變測度時, 對角線上的幾乎所有點都是多重傳遞點，並且這種多重傳遞點都是 AP-傳遞點。 我們建立了 Kuratowski-Mycielski 定理的動力學版本， 給出了一個動力系統中有不變相關集的六個等價刻畫，藉助這些刻畫可以使得不變一致混沌集、不變一致平均混沌集、不變delta-攀援集以及不變delta-分布混沌集等不變子系統的存在性的證明得以大為簡化。 我們也討論的傳遞屬性及拓撲熵在控制論中的某些套用。
