《代換動力系統的幾何表示和譜問題》是依託華中師範大學，由饒輝擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：代換動力系統的幾何表示和譜問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：饒輝
- 依託單位：華中師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
關於代換動力系統的譜的研究始於上世紀60年代，等長代換的譜型問題在1979年被完全解決， 此後研究的重點自然轉到非等長代換，尤其是Pisot代換。.1982年法國數學家G. Rauzy引入原子表面的概念，給出代換動力系統一個幾何表示，開創了研究譜的一個新方法。 本項目擬研究由雙曲代換生成的原子表面的分形性質，相關的準周期tiling性質及動力系統性質；研究它們與代換的組合性質以及譜型的關係；研究這些理論在數論中的套用。 Pisot代換的純點譜猜測是一個長期懸而未決的問題, 我們將圍繞這個重要問題展開研究。
結題摘要
本項目重點研究了代換動力系統、自相似集的Lipschitz等價、和自相似集的仿射嵌入三個方面的問題。 1. 代換動力系統。 代換動力系統的譜的研究在數學和物理上都非常重要。 其中最受關注的問題是 Pisot譜猜測。 我們在論文[H. Rao, Z.Y. Wen and Y.M. Yang, Adv. Math., 2014]中，我們提出共軛疊代函式系(dual IFS)的概念，並構造了一個準周期tiling, 我們把它命名為Rauzy-Thurston tiling. 這個工作把Rauzy 和Thurston 之後的相關研究統一到一個更簡明、更優美的框架中，並且可以得到更深入的結果，也把Pisot譜猜測放到一個更廣泛的框架之中。 2. 自相似集合的Lipschitz等價。 正如拓撲同構將幾何對象分類，Lipschitz等價將分形集分類，一直是幾何測度論中非常重要的問題。強分離自相似集的Lipschitz等價性，是一個基本的問題。 Falconer和Marsh(Mathematica，1992)首先研究此問題。我們在 [H. Rao, H.J. Ruan and Y. Wang, Trans. AMS.,2012] 中提出“ 可匹配條件”（matchable condition），證明它是一個Lipschitz不變數， 並徹底解決了兩分支自相似集的Lipschitz等價問題。 我們在[A.H. Fan, H. Rao and Y. Zhang, J. Math. Pures. Appl. 2015]和[H. Rao and Y. Zhang, J. Math. Pures. Appl. 2015]中解決了共面情形。 3. 自相似集的仿射嵌入。自相似集的仿射嵌入起源於P.Mattila在1999年提出的一個公開問題：什麼樣的自相似集可以仿射嵌入到Cantor 三分集中？我們在[D.J. Feng, H. Rao and Y.Wang, Advances Math. 2015] 解決了這個問題。
