《度量丟番圖逼近與分形中的相關問題研究》是依託華中科技大學，由王保偉擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：度量丟番圖逼近與分形中的相關問題研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：王保偉
- 依託單位：華中科技大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
在實數中，對有理數稠密性的量化性質研究，使得丟番圖逼近成為數論研究的核心內容之一；在動力系統中，對軌道稠密性的量化性質研究是揭示系統本質屬性的重要手段。本項目擬利用分形的方法研究經典丟番圖逼近和動力系統中軌道分布的度量理論：(1) 在經典逼近中，圍繞數論中未解決的著名問題，包括Littlewood猜測、Duffin-Schaeffer猜測，首先開展其弱化形式的研究，如有約束條件的Littlewood猜測、加強的發散性條件下的Duffin猜測；(2) 在動力系統中，研究軌道的丟番圖屬性，包括軌道返回起始點、軌道逼近給定點列、給定軌道的分布等。本研究致力於探索解決經典丟番圖逼近中問題的途徑和方法；建立動力系統中丟番圖逼近的度量理論。由於經典逼近與動力系統中軌道分布的密切關聯，希望能藉助動力系統中建立的理論解決經典逼近中的問題；並利用在研究丟番圖逼近問題中發現的新思路來推動分形理論的發展。
結題摘要
在實數中，對有理數稠密性的量化性質研究，使得丟番圖逼近成為數論研究的核心內容之一；在動力系統中，對軌道稠密性的量化性質研究是揭示系統本質屬性的重要手 段。本項目利用分形的方法研究經典丟番圖逼近和動力系統中軌道分布的度量理論。在經典丟番圖逼近的研究中，我們建立了將“球”壓縮為“矩形”的質量轉移原理，獲得了高維Duffin-Schaeffer 猜測的Hausdorff測度理論；完整確定了非齊次丟番圖逼近中無理旋轉的分布理論；建立了Dirichlet定理可改進性的Hausdorff測度理論。在動力系統中的丟番圖逼近理論中，我們建立了β動力系統中收縮靶問題的Hausdorff測度理論；解決了三分Cantor集上的覆蓋性問題；引入了拓撲動力系統中的收縮靶問題；建立了共形疊代函式系統中的“維數轉移原理”；以及在更一般性的系統下證實了“維數轉移原理”。 完善了經典丟番圖逼近中上極限集的維數理論，初步建立了動力系統中丟番圖逼近的度量理論，並將之套用到經典丟番圖逼近的研究中，如K.Mahler問題等。
