數論中某些動力系統的常返性研究

《數論中某些動力系統的常返性研究》是依託武漢大學，由廖靈敏擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：數論中某些動力系統的常返性研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：廖靈敏
• 依託單位：武漢大學

項目摘要

常返性研究是動力系統領域的主要問題之一。我們主要研究與數論相關的連分數動力系統和p進動力系統的常返性。對於連分數動力系統，我們考察對於給定的函式的Birkhoff 遍歷平均的水平集，並研究水平集關於水平變化的Hausdorff維數譜。這個問題對於緊連續動力系統已經完整解決。對於連分數系統則複雜得多。我們希望利用Ruelle運算元理論等技巧，從某些特殊函式到一般分段連續函式，建立起連分數動力系統上的維數譜。 對於p進動力系統，我們考察它的混沌性和極小性。人們已經給出了一些具有混沌性的多項式變換的例子，我們計畫拓展這些例子並希望能給出具有混沌性質的多項式的基本特徵。對於極小性， p進數域上的整係數仿射變換的極小分解已經解決，我們希望把這個結果推廣到一般的p進數域的有限擴張上去。此外我們還準備研究分式變換，以及在一個可遷子集中同時具有擴張和收縮點的多項式變換。

結題摘要

本項目主要研究與數論相關的連分數動力系統，p進動力系統，貝塔展式動力系統等動力系統的常返性。常返性研究是動力系統領域的研究熱點。與數論相關的動力系統理論與遍歷理論方面已經有陶哲軒和Elon Lindestrauss兩個菲爾茲獎獲得者。此方面的研究吸引了很多優秀數學工作者。對於連分數動力系統，我們給出了給定連分數字元的頻率的水平集的Hausdorff維數。這項工作解決了Billingsley等人之前未能完成的一個重要問題，文章發表在《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》上。基於此項工作，我們研究了對於一般的給定函式的Birkhoff 遍歷平均以及遍歷平均之比的水平集，得到了相應的Hausdorff維數譜，並有兩篇已投稿論文。我們也得到了在一般無窮多個字元的符號動力系統上的相應問題的結果（發表在《Nonlinearity》上）。 對於p進動力系統，我們考察了一般p進整係數多項式動力系統的極小性，給出了p為2時二次多項式的完整的極小分解。我們的研究成果發表在《Advances in Mathematics》。我們研究了一般係數的p進多項式動力系統的混沌性極小性，p進數域的有限擴張的整係數多項式動力系統的極小分解，p進射影直線上的分式動力系統的極小分解等問題，並有三篇論文正在撰寫中。除了連分數和p進動力系統外，我們也研究了符號動力系統中多重遍歷平均的水平集的Hausdorff維數譜問題，主要研究成果發表在《Monatshefte fur Mathematik》上，並有兩篇已投搞文章。此外我們證明了負貝塔展式動力系統是局部最終到上的，正合的（發表在《Ergodic Theory and Dynamical Systems》上）。另外，關於單位區間上的Markov映射的丟翻圖性質的文章也即將發表在發表在《Ergodic Theory and Dynamical Systems》上。我們的研究成果涉及到與數論相關的各種動力系統。解決了某些國際上遺留下來的難題。這些成果也將對相應的研究富有啟發意義。