《一維動力系統中若干問題的研究》是依託中國科學技術大學，由李思敏擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：一維動力系統中若干問題的研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：李思敏
- 依託單位：中國科學技術大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
一維動力系統理論是動力系統理論的一個重要組成部分，除了自身豐富的研究內涵外，也可為高維系統提供方法和思路。本項目將從組合、拓撲、測度等多個角度出發，結合復動力系統中的思想和方法，研究區間映射的若干動力系統問題，包括：利用principal nest刻畫映射臨界點軌道的組合性質；研究wild attractor的隨機穩定性、存在性及Hausdorff維數的下界估計；考察絕對連續不變測度的等價刻畫命題的最佳化及向多臨界點映射的推廣；研究區間映射Julia集的雙曲維數與最小共形指數的關係等。這些問題與申請人前期的工作有著密切的聯繫，是前期工作進一步的延續和深化。本項目的創新之處在於：首次提出用principal nest刻畫映射的組合型；豐富了研究多臨界點區間映射的方法與技巧；注重複動力系統在區間映射動力系統中的套用。項目的實施將豐富和完善一維動力系統的研究成果，為將來進一步的研究提供借鑑和思路。
結題摘要
本項目研究了一維動力系統的若干問題，特別是與單峰映射的wild attractor的動力學性質相關的問題，解決了若干問題，共發表研究論文四篇，其中一篇發表在著名的綜合期刊《Trans. AMS》上。我們利用重整化方法，定義了一類新的單峰映射作為經典Fibonacci映射的推廣，證明其沒有絕對連續不變測度。這類映射與Bruin等提出的類Fibonacci映射是不同的，為尋找新的具有wild attractor映射提供了借鑑。我們證明了具有wild attractor的單峰映射滿足緩慢靠近性質，從而在隨機擾動下是穩定的。我們證明了wild attractor的動力學複雜性是較低的，例如其熵維數一定為零，甚至可以是等度連續的。此外，我們還對臨界有限有理函式的不變曲線做了研究。 上述研究的意義和創新點在於：首次提出用重整化（principal nest）刻畫映射的組合型，構造了一類可能具有wild attractor的映射，為尋找更多具有wild attractor的映射提供了思路。對隨機穩定性、複雜性的研究進一步豐富了人們對wild attractor的動力學性質的認識。這些研究豐富和完善了一維動力系統與吸引子相關的研究成果，為將來的研究提供借鑑和思路。
