基本介紹
定理信息,橢圓運算元,解析指標,拓撲指標,例子,發展,創立者,證明手法,推廣,橢圓復形,帶邊流形,等變指標定理,引語,
定理信息
橢圓運算元
參見：橢圓型偏微分方程
設D是k維歐氏空間上的n階微分運算元。如果p1, ..., pk是其上的坐標函式，那么定義其符號（symbol）是以（p1, ..., pk, q1, ..., qk）為自變數的函式，具體定義是去掉D的低階項，並將最高階項中的對pi求偏導的運算元換成qi。因此D的符號是（q1, ..., qk）的n次齊次多項式。若對任意非零的序列（q1, ..., qk），此多項式的取值都非零，則稱D是橢圓運算元。例如，帶
個變數的拉普拉斯運算元的符號為q1, ..., qk的平方和，所以這是一個橢圓運算元。
以上所述是歐氏空間上的運算元。如果M是一個微分流形，其上的偏微商運算元可以通過局部坐標系定義。此時它的符號是M的餘切叢上的函式；對固定的M上的點，其符號是p的餘切空間上的齊次函式。此定義與局部坐標的選取無關。
更進一步，對於M上向量叢E和F之間的偏微商運算元D（一樣以局部坐標定義），其符號是餘切叢上的E和F的拉回叢之間的映射。若D的符號在每個非零餘切向量上（x，w）的限制為Ex到Fx的可逆映射，則稱D為橢圓運算元。
解析指標
因為橢圓運算元有偽逆，它便是一個弗雷德霍姆運算元。對這類運算元，可定義指標為Index(D)=dim Ker(D)−dim Coker(D)。這個指標叫做運算元D的解析指標。
例二. 考慮流形𝕊=ℝ/ℤ，運算元
，其中λ∈ℂ，這是最簡單的橢圓運算元。若λ∈2πiℤ，則
，反之則為零空間；其伴隨運算元
滿足類似的性質，不難算出
的指數為零。由此例可見
與
在λ變化時可能有不連續點，但其差則是個常數。
拓撲指標
設X是 n 維緊緻無邊微分流形，橢圓偏微分運算元D:E→F的拓撲指標定義為
。換言之，是同調類
的最高維項在X的基本同調類上的取值。在此
是流形的Todd類，
在此
是托姆同構，B(X),S(X)指單位球面叢及其邊界。ch是陳特徵標，σ(D)是D的符號，而
是K理論中定義的差元。
例子
高斯-博內-陳定理
希策布魯赫-黎曼-羅赫定理
設
為緊複流形，
為其上的復向量叢。定義
則解析指標等於
而拓撲指標等於
A-hat虧格與Rochlin定理
流形的A-hat虧格是個有理數。對於自旋流形，這個值總是整數，若
，則它還是個偶數。這個定理可以由指標定理導出，方法是考慮適當的狄拉克運算元；當 時，此運算元的核與余核帶有四元數環上的向量空間結構，其復維度必為偶數，因此解析指標也必然是偶數。
發展
蓋爾范德（I. Gelfand）首先注意到解析指標的同倫不變性，並在1959年提出了橢圓運算元的指標問題，希望以流形的拓撲不變數描述解析指標。黎曼-羅赫定理是最早知道的特例；另一方面，波萊爾與希策布魯赫早先證明了自旋流形的A-hat虧格的整性，並猜想這個性質可以由某個狄拉克運算元的指標詮釋。這個問題也由阿蒂亞與辛格在1961年聯手解決。
阿蒂亞與辛格在1963年宣布他們的指標定理，但一直沒有正式發表，只出現在Palais編輯著作《指標定理討論班》（1965年出版）上。他們在1968年發表了第二個證明，用K理論取代了初版證明中的配邊論方法。
阿蒂亞、博特與Patodi在 1973 年以熱傳導方程的手法給出另一個證明。格茨勒（E. Getzler）基於愛德華·維騰（1982）及 Alvarez-Gaume（1983）的想法，給出了局部狄拉克運算元的局部指標定理的簡短證明，這涵攝了實際套用中的大多數例子。
創立者
雖然指標定理以阿蒂亞和辛格的名字命名，但學術界公認，有四位數學家在其中做出了最重要的貢獻：除去阿蒂亞和辛格，德國數學家希策布魯赫和匈牙利數學家博特也在其中。他們有時被稱為指標理論的“四人幫”。
證明手法
偽微分運算元
主條目：偽微分運算元
偽微分運算元的想法可以用歐氏空間上的常係數偏微分運算元解釋。這些運算元不外是多項式函式的傅立葉變換；如果我們容許更一般的函式，其傅立葉變換就構成了偽微分運算元。對於一般的流形，可以透過局部坐標系定義偽微分運算元，只是手續稍微繁瑣一些。
指標定理的許多證明中都利用偽微分運算元，而非一般的微分運算元，因為前者的理論更富彈性。舉例來說，橢圓運算元的偽逆不是微分運算元，卻仍是偽微分運算元；另一方面，群
的元素對應到橢圓偽微分運算元的符號。
對偽微分運算元可以定義階數，這個數可以是任意實數，甚至是負無窮大；此外也能定義其符號。橢圓偽微分運算元定義為些對長度夠長的餘切向量為可逆的偽微分運算元。指標定理的多數版本皆可推廣到橢圓偽微分運算元的情形。
配邊
指標定理的首個證明奠基於希策布魯赫-黎曼-羅赫定理，並運用到配邊理論與偽微分運算元。想法簡述如下。
考慮由資料
構成的環，其中 是緊定向微分流形，
是向量叢，其加法與乘法分別由不交並與積導出；我們考慮此環對關係
的商環。這個構造類似於配邊環，不過此時我們還慮及流形上的向量叢。解析指標與拓撲指標皆可詮釋為從此環映至整數環的同態。托姆的配邊理論給出了這個環的一組生成元，我們可以對這些較簡單的例子驗證指標定理，從而導出一般的情形。
K理論
阿蒂亞與辛格正式發表的第一個證明採用了K理論。設
為緊流形，
為閉浸入，他們對橢圓運算元定義了一個推前運算
，並證明保持指標。我們一方面可取
為一個包括的高維球面；另一方面，仍取為前述球面，而為其內一點。由於保持指標，而拓撲指標也具備相容的運算，兩相比較後可將指標定理化約到一個點的情形，此時極易證明。
熱方程
阿蒂亞、博特與Patodi在1973年給出了熱傳導方程手法的證明。Getzler-Berline-Vergne在2002年給出一個精神相近的簡化證明，其中利用了超對稱的想法。
在此
可任取。
上式右側是兩個熱核的差，它們在
時有漸近表示式，它乍看複雜，但不變數理論表明其中有許多相銷項，藉此可明確寫下領導項，由此可證出指標定理。這些相銷現象稍後也得到超對稱理論的詮釋。
推廣
橢圓復形
一個橢圓復形是一個由向量叢構成的復形0 → E0 → E1 →E2 → ... → Em →0 其中的每個箭頭都是微分運算元，其符號構成一個正合復形。當這個復形只有有兩項非零時，前述條件等價於其間的運算元是橢圓的，因此橢圓運算元是橢圓復形的特例。反過來說，給定一個橢圓復形，分別考慮其奇次項與偶次項的直和，其間的映射由原復形的映射及伴隨映射給出，如此則可得到橢圓運算元。
帶邊流形
當考慮帶邊流形上的橢圓運算元時，需要添加橢圓邊界條件來得到有限的指標。阿蒂亞和博特將指標定理推廣到帶邊流形上的橢圓運算元。
等變指標定理
設緊李群G作用在緊流形和向量叢上，並與所考慮的橢圓運算元D可交換，那么D的核與余核都是G的有限維表示，D的指標可以看作G的一個特徵（character）。我們可以用等變K理論替代一般的K理論，得到的結果稱為等變指標定里。
引語
當阿蒂亞與辛格在2004年獲得阿貝爾獎時，公告上是這么形容阿蒂亞-辛格指標定理的：“我們以隨時空改變的力與測量量描述世界。自然律以這些量的變化率表示，稱為微分方程。這些方程可以有個“指標”，這是方程的解數減去對所求值的限制數目。阿蒂亞-辛格指標以空間的幾何性質描述這個量。
艾雪著名的詭異作品《升降》解釋了一個簡單的例子。圖中的人們一直在上坡，卻仍繞行著城堡的天井。指標定理可以告訴它們：這是辦不到的！”
