《關於分數階微分方程譜問題的研究》是依託山東大學，由李靜擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：關於分數階微分方程譜問題的研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：李靜
- 依託單位：山東大學
- 批准號：11601277
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目將研究一類分數階微分方程的譜問題，該問題來自於大量的非局部連續力學及一些複雜的反常擴散現象的數學物理模型。本項目將採用分數階微積分理論和運算元理論相結合，運算元擾動理論、運算元譜理論和複變函數理論相補充的策略，利用雙譜參數法，分數階運算元的積分變換和特殊函式法等討論分數階微分方程譜理論的基本問題，包括特徵值的存在性和實值性、特徵值個數的可數性、特徵值的半有界性及重數、漸進分布公式、特徵函式的正交完備性等；分析特徵值關於分數階導數和係數函式的連續依賴性、分數階微分方程的譜與整數階微分方程的譜之間的關係等一系列重要的理論問題。其結果將進一步促進分數階微積分理論和分數階微分方程譜理論的完善和發展。本項目的研究也可以為非局部連續力學和反常擴散現象提供新的理論支持。
結題摘要
近年來分數階微分積分模型因其較好的解決了傳統的整數階模型與實驗不能吻合的問題，因此基於分數階導數的分數階微分方程及其產生的譜問題受到越來越多的研究關注，並被廣泛套用於量子力學、非局部連續力學等實際問題中。 本項目採用分數階微積分理論和運算元理論相結合、運算元擾動理論、運算元譜理論和複變函數理論相補充的策略，利用格林函式法，分數階運算元的積分變換等研究分數階微分方程譜理論的基本問題及與其相關的幾個數學問題。到目前為止，項目組在Journal of Differential Equations，Journal of Mathematical Physics， Applied Mathematics Letters，Journal of Mathematical Analysis and Applications等國際雜誌共發表了SCI收錄學術論文9篇，本項目部分重要研究成果概述如下：研究了一類非局部Sturm–Liouville在不同初值條件下，解的唯一性問題，然後基於這些理論結果，討論了帶狄利克雷邊條件的非局部Sturm–Liouville特徵值問題的特徵值的幾何重數；研究了帶Riesz空間分數階導數的非線性Schrödinger方程的擬周期解的存在性問題。通過把分數階Schrödinger方程轉化為哈密頓系統，利用Kuksi-Pöschel的Cantor流形定理，藉助於KAM(Kolmogorov-Arnold-Moser)技巧，證明了此問題存在大量的擬周期解；研究了周期邊條件下帶有限光滑的關於時間是擬周期的勢函式的波方程的約化問題，得到對應的波運算元存在純點譜，Lyapunov指數為零；研究了幾類來源於物理模型中的大型方程組的非線性矩陣方程，利用矩陣函式的積分表示法和Kronecker積的性質，討論了方程存在唯一Hermite正定解的條件，得到了解的相關性質，並用數值例子驗證了我們的理論結果。 本項目的相關結論完善了分數階微分方程譜理論的研究，得到了部分研究分數階微分方程譜問題的新工具和新方法，同時完善了分數階微積分的基本性質，進一步拓廣了KAM理論在分數階微分方程中的套用，促進了KAM理論、微分方程譜理論與分數階微積分理論的交叉和發展。
