變分方法在耗散系統運動方程中的套用研究

《變分方法在耗散系統運動方程中的套用研究》是依託山東科技大學，由白占兵擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：變分方法在耗散系統運動方程中的套用研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：白占兵
• 依託單位：山東科技大學

項目摘要

物理學上從微觀層次來講並沒有保守力與非保守力之分，但是在整數階微積分領域保守系統與變分原理相容而耗散系統的運動方程則無法由最小作用原理獲得，這是力學研究中令人困惑不已的問題。近年來關於分數階變分的研究未能解決上述問題，因為左、右分數階導數的組合形式描述耗散系統的阻尼項在力學上難以解釋。本項目擬建立滿足導數的乘積法則、半群性質、鏈式法則等性質的分數階導數的新定義，通過與現有各種分數階導數概念的比較和數值模擬分析其合理性。在新的導數定義下由最小作用原理推導出耗散系統的運動方程，研究具有變分結構的分數階微分方程解的存在性、譜理論、極值原理、Green函式以及函式空間理論等基礎理論。在實際套用方面，我們將探索建立若干海洋波動力學的分數階擴散模型並分析其動力學特徵。本課題的研究為利用變分法研究耗散系統以及分數階導數描述的粘彈性流體中的運動方程奠定基礎，並為分數階導數的物理解釋帶來新思路。

結題摘要

對分數階微分方程定性理論，目前儘管人們在解的存在性的研究上已取得了一些成果， 但其理論框架遠不如整數階方程完善，尚有大量的基礎性的問題亟待進行深入的研究，如：耗散系統的運動方程可否以及如何由分數階變分導出；變分法在分數階微分方程中的套用以及分數階譜理論的建立；若干反應擴散模型的建立等。 本項目的研究側重於利用非線性泛函分析方法研究分數階微分方程定性理論，同時考查海洋內波波動等套用科學領域中分數階系統模型的建立與分析。如：現有分數階導數概念的比對分析與分數階導數新定義的引入；變分法及其它非線性泛函分析方法在分數階微分方程可解性研究中的套用；海洋波動力學中分數階模型的建立及其動力學分析。 我們在以下方面取得重要結果。利用非線性分析中的單調運算元理論結合分數階特殊函式理論討論了一類分數階初值問題疊代解的存在性，獲得了一系列新的判據。在適型分數階導數的研究方面取得了一系列研究成果。新導數有很多很好的性質，不同於已有的分數階導數，它是局部概念。我們藉助於其格林函式的性質以及其滿足分數階微分中值共識建立了若干存在性準則。 在非局部邊界值條件下， 特別是積分邊值條件下，獲得了解的存在性與多解性條件，推廣了已有文獻中的成果。利用變分原理研究多點邊值問題系統無窮多解的存在性。在已有文獻中，變分原理和臨界點理論主要用於周期解以及Diriclet邊值問題解的存在性與多解性的研究，尚未見到變分原理在非局部問題上的套用。在新構造的空間上，我們建立了一類多點邊值問題解的變分結構，獲得了若干新的存在性結果。研究建立了若干海洋波動力學的分數階模型，並進行了其動力學分析。 本項目在分數階微分方程系統解的存在性、多解性、疊代解的存在性、分數階波動力學模型的建立分析等方面獲得了一系列研究成果。共培養研究生14名，帶領3名年輕教師進入該領域從事合作研究，前後邀請10名國內外專家教授學術交流，發表SCI收錄論文20餘篇，EI論文1篇，其它期刊論文若干。獲得青島市自然科學二等獎1項。目前正在申報山東省自然科學獎。