Volterra積分微分方程高效譜配置方法研究

《Volterra積分微分方程高效譜配置方法研究》是依託華南師範大學，由陳艷萍擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：Volterra積分微分方程高效譜配置方法研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：陳艷萍
• 依託單位：華南師範大學

項目摘要

Volterra積分方程和積分微分方程在物理、生物、化學與工程等許多領域中具有廣泛的套用背景，由於這類方程具備記憶性質，對其數值求解更為困難。當前，利用具有高精度譜方法來研究Volterra積分微分方程的數值計算是國際上最熱門的前沿研究領域之一，具有重要的學術意義和套用價值。本項目主要研究Volterra積分方程和積分微分方程的帶光滑核以及帶弱奇異核的譜配置方法，設計高效率和高精度算法。同時我們提出和分析帶延遲項Volterra方程的譜方法。由於奇異方程的解的導數在端點具有某種奇異性，對其數值方法的研究在理論分析上相當複雜。通過變數替換和函式變換，利用正交多項式和Gauss數值積分逼近理論、Jacobi 加權Besov /Sobolev空間和緊運算元理論、插值多項式的Lebesgue常數估計和一些重要的不等式等工具進行收斂性分析，得到譜精度的誤差估計，並且進行大量的數值試驗證實理論分析結果。

結題摘要

積分微分方程比一般的微分方程更能精確地反映系統的運動規律，特別是對一些複雜的帶有記憶性質的系統的數學建模往往導致延遲微分方程或積分方程，所以對延遲微分積分方程的研究有廣泛實際套用背景。積分微分方程己判煉凶的主要特徵是所謂的全局依賴性，即方程的解在一個點上的值依賴於積分區域內任何點的值，當離散方法不論是低階的差分方法和有限元方法還是高階的譜方法，這個特性導致離散方程的非局部性。當前，利櫻套立用具有高精度譜方法來研究Volterra 積分微分方程的數值計算是國際上最熱門的前沿研究領域之一，具有拔提去重要的學術意義和套用價值。本項目主要研究Volterra 積分方程和積分微分方程的帶光滑核以及帶弱奇異核的譜配置方法，設計高效率和高精度算法。我們重點研究線性與非線性第二類帶弱奇異核的Volterra積分方程、帶中立項的弱奇異Volterra型微分積分方程束殼應Jacobi、常數延遲、變延遲及比例延遲等多種類型Volterra延遲型積分微分方程、高維區域的 Volterra積分微分方程及分數階微分方程譜配置方法及分片譜配置方法，根據奇異指標數的不同選取合適的正交多項式空間和不同的譜配置方法，針對具有光滑解和具有非光滑解的兩種情形分別進行了深入地研究，尋找、探索並選取合適的數學理論工具解決非光滑解奇異問題，通過數學上的嚴格證明，得到譜配置方法的數值解在最大模範數和加權積分平均範數意義下的收斂性。我們進一步研究Volterra積分微分方程的帶光滑核以及帶弱奇異核的Legendre譜配置方法、Chebyshev譜配置方法和Jacobi譜配置方法，探討了如何處理初值條件，將初值條件轉化為等價的積分方程。我們不僅證明譜配置方法的數值解本身的收斂性，還要設法得到數值解的導數的誤差估計結果。針對各類Volterra型方程，我們都從Volterra型方程的積分項具有光滑核函式和帶弱奇異核函式的情形、具有光滑解和具有非光頸抹探旋滑解的情形等多方面進行了細緻地研究。我們結合有限元方法的思想和我們多年來在有擊歸巴限元方面的研究成果，研究了Volterra型方程的譜Galerkin方法和譜元方法，利用Sobolev空間的運算元理論研究數值解的穩定性、收斂性以及超收斂性和後驗誤差估計等現代計算數學理論熱點問題。在數值試驗方面，我們構造了並研究了非線性問題譜配置方法刪想的的數值實例，進行了大量的數值試驗證實了我們的理論分析結果。