遞推數列(數列名稱)

遞推數列是可以遞推找出規律的數列，找出這個規律的通項式就是解遞推數列。求遞推數列通項公式的常用方法有：公式法、累加法、累乘法、待定係數法等共十種方法。

基本介紹

• 中文名：遞歸數列
• 外文名：recursive sequence
• 數列項數分類：有窮數列和無窮數列
• 特殊的數列：呈周期性變化的數列叫做周期數列
• 常用方法：公式法、累加法等共十種方法

相關概念

首先數列的定義是：按一定次序排列的一列數稱為數列（sequence of number）。數列中的每一個數都叫做這個數列的項。

排在第一位的數列稱為這個數列的第1項（通常也叫做首項），排在第二位的數稱為這個數列的第2項……排在第n位的數稱為這個數列的第n項。所以，數列的一般形式可以寫成 a₁，a₂，a₃，…，a_n，…

簡記為{a_n}。

通項公式：數列的第N項an與項的序數n之間的關係可以用一個公式表示，這個公式就叫做這個數列的通項公式。

數列中數的總數為數列的項數。特別地，數列可以看成以正整數集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）為定義域的函式a_n=f(n)。

如果可以用一個公式來表示,則它的通項公式是a_n=f(n).

數列分類

1. 按照項數是否有限分為有窮數列和無窮數列。
   （1）項數有限的數列為“有窮數列”（finite sequence）
   （2）項數無限的數列為“無窮數列”（infinite sequence）
2. 按照項與項的大小關係分為遞增數列、遞減數列和擺動數列。
   （1）從第2項起，每一項都不小於它的前一項的數列叫做遞增數列；
   （2）從第2項起，每一項都不大於它的前一項的數列叫做遞減數列；
   （3）從第2項起，有些項大於它的前一項，有些項小於它的前一項的數列叫做擺動數列；
3. 按照有界性分為有界數列和無界數列。
   一個數列每一項的絕對值都小於某個正數（即|A_n|<a, a∈R+)這個數列是有界數列，反之為無界數列。
4. 一些特殊的數列
   （1）各項呈周期性變化的數列叫做周期數列（如三角函式）；
   （2）各項相等的數列叫做常數列。（注意常數列是遞增數列和遞減數列的特殊情況。）

遞推公式

遞推公式：如果數列{a[n]}的第n項與它前一項或幾項的關係可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數列的遞推公式。

用遞推公式表示的數列就叫做遞推數列

比如等比數列A_n=A₁*q^（n－1）可以表示為：A_n=q*A^(n-1)

等差數列

相關定義

一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列（arithmetic sequence），等差數列可以縮寫為A.P.。這個常數叫做等差數列的公差（common difference），公差通常用字母d表示。

由三個數a，A，b組成的等差數列可以堪稱最簡單的等差數列。這時，A叫做a與b的等差中項（arithmetic mean）。

有關係：A=（a+b）/2

相關公式

通項公式

a_n=a₁+(n-1)d

a_n=S_n-S_(n-1) (n≥2)

a_n=kn+b(k,b為常數)

求和公式

S_n=n(a₁+a_n)/2=n*a₁+n(n-1)d/2

S_n=(d/2)*n²+(a₁-d/2)n

相關計算

1.等差數列:

通項公式a_n=a₁+(n-1)d （a₁：首項；d：公差；a_n：第n項）

a_k=a₁+(k-1)d （a_k為第k項）

若a,A,b構成等差數列 則 A=(a+b)/2

2.等差數列前n項和:

設等差數列的前n項和為S_n

即 S_n=a₁+a₂+...+a_n;

那么 S_n=n*a₁+n*(n-1)*d/2=n²*d/2+(a₁-d/2)*n

還有以下的求和方法: 1,不完全歸納法 2 累加法 3 倒序相加法

性質

且任意兩項a_m，a_n的關係為：

a_n=a_m+(n-m)d

它可以看作等差數列廣義的通項公式。

從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：

a₁+a_n=a₂+a_n-1=a₃+a_n-2=…=a_k+a_n-k+1，k∈{1,2,…,n}

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有

a_m+a_n=a_p+a_q

S_m-1=(2n-1)a_n，S2_n+1=(2n+1)a_n+1

S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k，…，S_nk-S_(n-1)k…成等差數列，等等。

和=（首項+末項）×項數÷2

項數=（末項-首項）÷公差+1

首項=2和÷項數-末項

末項=2和÷項數-首項

設a₁,a₂,a₃為等差數列。則a₂為等差中項,則2a₂=a₁+a₃。

套用

日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別

時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。

若為等差數列，且有a_n=m,a_m=n.則a(m+n)=0。

等比數列

相關定義

一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，這個數列就叫做等比數列（geometric sequence）。這個常數叫做等比數列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。

等比數列可以縮寫為G.P.（Geometric Progression）。

如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項。

有關係：G²=ab；G=±(ab)^1/2

註：兩個非零同號的實數的等比中項有兩個，它們互為相反數，所以G²=ab是a,G,b三數成等比數列的必要不充分條件。

相關公式

通項公式

a_n=a₁q^n-1

a_n=S_n-S(n-1) (n≥2)

求和公式

當q≠1時，等比數列的前n項和的公式為

S_n=a₁(1-qⁿ)/(1-q)=(a₁-a_n*q)/(1-q)(q≠1)

相關計算

1.等比數列:

通項公式 a_n=a₁*q^n-1（a1：首項；an：第n項）

a_n=a₁*q^n-1,a_m=a₁*q^m-1

則a_n/a_m=q^n-m

(1)a_n=a_m*q^n-m

(2)a,G,b 若構成等比中項,則G²=ab (a,b,G≠0)

(3)若m+n=p+q 則 a_m*a_n=a_p*a_q

2.等比數列前n項和

設 a₁,a₂,a₃...a_n構成等比數列

前n項和S_n=a₁+a₂+a₃...a_n

S_n=a₁+a₁*q+a₁*q²+....a₁*q^n-2+a₁*q^n-1

這個公式雖然是最基本公式,但一部分題目中求前n項和是很難用下面那個公式推導的,這時可能要直接從基本公式推導過去,所以希望這個公式也要理解。

S_n=a₁(1-qⁿ)/(1-q)=(a₁-a_n*q)/(1-q) （q≠1）

S_n=na₁ （q=1）

求和一般有以下5個方法: 1,完全歸納法（即數學歸納法） 2 累乘法 3 錯位相減法 4 倒序求和法 5 裂項相消法

性質

另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底數數後構成一個等差數列；反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪Can，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。

性質：

①若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則a_m*a_n=a_p*a_q

②在等比數列中，依次每 k項之和仍成等比數列.

G是a、b的等比中項”“G²=ab（G≠0）

(5) 等比數列前n項之和S_n=a₁(1-qⁿ)/(1-q)

在等比數列中，首項a1與公比q都不為零.

套用

等比數列在生活中也是常常運用的。

如：銀行有一種支付利息的方式---複利。

即把前一期的利息和本金價在一起算作本金，

再計算下一期的利息，也就是人們通常說的利滾利。

按照複利計算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期

如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。

（1）等比數列的通項公式是：a_n=a₁*q^n-1

若通項公式變形為a_n=a₁/q*qⁿ(n∈N*),當q>0時，則可把a_n看作自變數n的函式，點(n,a_n)是曲線y=a₁/q*q^x上的一群孤立的點。

（2）求和公式：S_n=na₁(q=1)

S_n=a₁(1-qⁿ)/(1-q)

=(a₁-a_1*qⁿ)/(1-q)

=a₁/(1-q)-a₁/(1-q)*qⁿ ( 即a-a_qⁿ)

(前提：q ≠ 1)

任意兩項a_m，a_n的關係為a_n=a_m*q^n-m

（3）從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a_1*a_n=a_2*a_n-1=a_3*a_n-2=…=a_k*a_n-k+1，k∈{1,2,…,n}

（4）等比中項：a_q·a_p=a_r²，a_r則為a_p，a_q等比中項。

記π_n=a_1*a₂…a_n，則有π_2n-1=a_n*2n-1，π_2n+1=(a_n+1)2n+1

等和數列

定義

“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的後一項的和都為同一個常數，那么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和。

對一個數列，如果其任意的連續k（k≥2）項的和都相等，我們就把此數列叫做等和數列

性質

必定是循環數列

常見形式

a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）

累和法（a_n-a_n-1=... a_n-1 - a_n-2=... a₂-a₁=...將以上各項相加可得a_n）。

逐商全乘法（對於後一項與前一項商中含有未知數的數列）。

化歸法（將數列變形，使原數列的倒數或與某同一常數的和成等差或等比數列）。

特別數

在等差數列中，總有S_n S_2n-S_n S_3n-S_2n

2(S_2n-S_n)=(S_3n-S_2n)+S_n

即三者是等差數列,同樣在等比數列中。三者成等比數列

不動點法（常用於分式的通項遞推關係）

不動點法求數列通項

對於某些特定形式的數列遞推式可用不動點法來求

特殊數列

特殊數列的通項的寫法

1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------a_n=n

1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------a_n=1/n

2，4，6，8，10，12，14.......-------a_n=2n

1,3,5,7,9,11,13,15.....-------a_n=2n-1

-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------a_n=(-1)ⁿ

1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------a_n=(-1)ⁿ⁺¹

1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1....------a_n=[(-1)ⁿ⁺¹+1]/2

1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------a_n=cos(n-1)π/2=sinnπ/2

9,99,999,9999,99999,......... ------a_n=10ⁿ-1

1,11,111,1111,11111.......--------a_n=[10ⁿ-1]/9

衍生n,nn,nnn,nnnn,nnnnn......---------a_n=[10ⁿ-1]*n/9,n為1-9的整數

1，4，9，16，25，36，49，.......------a_n=n^2

1,2,4,8,16,32......--------a_n=2^n-1

著名數列

等差數列典型例題：

1/(1x(1+1))+1/(2x(2+1))+1/(3x(3+1))+1/(4x(4+1))+1/(5x(5+1))...............1/(n(n+1)) 求S_n

解析：

S_n=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5).............[1/n-1/(n+1)]

=1-1/(n+1)

大衍數列　0、2、4、8、12、18、24、32、40、50－－－－－－

通項式：

a_n=(n×n－1)÷2 (n為奇數)

a_n=n×n÷2 (n為偶數)

前n項和公式：

S_n = (n-1)(n+1)(2n+3)÷12 (n為奇數）

S_n = n(n+2)(2n-1)÷12 (n為偶數）

大衍數列來源於《乾坤譜》，用於解釋太極衍生原理。

斐波那契數列 1、1、2、3、5、8、13、21、……

通項式

F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]ⁿ - [(1-√5)/2]ⁿ}

這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的。

還可以發現 S_n-2 +S_n -1=Sn