基本介紹
- 中文名：運算元半群
- 外文名：operator semigroup
- 領域：代數
- 性質：運算元族
- 對象：線性運算元
- 套用：泛函分析
概念,強連續線性運算元半群,酉運算元群,壓縮半群,解析運算元半群,套用——泛函分析,
概念
運算元半群是依賴於參數且對乘法運算封閉的運算元族。設X是線性空間，Tt(t≥0(或t>0))是X上的線性運算元。如果對任何t1，t2≥0(或>0)，有Tt1Tt2=Tt1+t2，則稱{Tt|t≥0(或t>0)}為單參數運算元半群，或簡稱運算元半群。顯然，運算元半群即把參數t的加法半群(因限制t≥0或t>0故僅是加法半群)變成運算元(按運算元乘法)的半群.對於半群{Tt|t≥0}，通常總加上假設T0=I。在泛函分析中，通常要假設X是巴拿赫空間或拓撲線性空間(重要的是局部凸拓撲線性空間)，並且把{Tt|t≥0(或t>0)}視定義在[0，+∞)(或(0，+∞))上運算元值函式時，還要假設有某種連續性，具體可見C0類運算元半群，C0類等度連續運算元半群，解析運算元半群等。上面談的是線性運算元半群，此外還有非線性運算元半群。
運算元半群理論是泛函分析的重要分支之一，主要研究各種類型的運算元半群和生成元的特徵，以及指數公式的各種表達形式。它在微分方程、機率論(馬氏過程)、系統理論、逼近論和量子理論中是經常出現的。
強連續線性運算元半群
是這樣一族線性運算元{T(t)|t≥0}，它們都連續地映巴拿赫空間x於自身，滿足：①T(0)=I（恆同運算元）；
；③對一切x∈X，有T(t)x→x於x當t↓+0。這類半群可以表示為exp(-tA)的形式，其中A是閉的；有稠密的定義域D(A)，且滿足條件：有常數M，使n=1,2,…。這個條件還是充分的。指數公式exp(-tA)有幾種解釋。其一，當x∈D(A)時，成立 。這個結論給出運算元微分方程初始值問題的解。 ，有解x(t)=T(t)x0。其二， ，這裡若記 則其為有界線性運算元，於是可以定義 。其三， 。這類運算元半群的理論主要是由C.E.希爾、吉田耕作、R.S.菲利普斯等人奠定的。
酉運算元群
是希爾伯特空間 H到自身的一族酉運算元(見線性運算元)，{U(t)│-∞<t<∞},滿足:①對一切實數
；②對任意x,y∈H，函式(U(t)x,y)是可測的，其中( ,)是H上的內積。斯通定理斷言：U(t)=exp(-itA)，其中A是H上的一個自伴運算元。而且逆定理也成立。這個定理在群表示論中有重要的作用，在量子力學中則給出薛丁格方程解的表示。
壓縮半群
滿足‖T(t)‖≤1，對一切t>0的強連續運算元半群。成為壓縮半群的生成元A的充要條件是，對一切λ>0。線性運算元A稱為是增殖的，是對一切x∈D(A)，對,式中〈,〉表示x的共軛空間與x 間的對偶。壓縮半群的生成元有一個等價的刻畫：A是閉的增殖運算元，並有λ0>0，使得(λ0I+A)的值域是滿的。壓縮半群的套用極為廣泛，許多具體運算元半群都是壓縮的。例如：布朗運動中遷移函式導出的運算元半群、發展型方程的解導出的運算元半群以及泊松核導出的半群等。
解析運算元半群
還有一類特殊的壓縮半群,其中T(t)作為 t的運算元值函式可以解析開拓到一個包含正實軸的複平面中的角形區域上去。這類運算元半群在拋物型方程中有重要套用。
線性運算元半群理論也被推廣到了非線性運算元。非線性壓縮運算元半群{T(t)│t≥0}是這樣一族由巴拿赫空間x中的子集C到自身C 的非線性映射，除了滿足強連續線性運算元半群定義中的條件①～③(但以x∈C代替x∈x)而外，還假設滿足條件④‖T(t)x-T(t)y‖≤‖x-y‖,對一切x,y∈C,和一切t≥0。為了描寫非線性壓縮半群的生成元，引進多值增殖運算元的概念。稱x×x上的一個子集A為一個多值運算元,如果記Ax={y∈x|[x,y]∈A},D(A)={x∈x|Ax≠═},R(A)=UAx,(見非線性運算元)。一個多值運算元A稱為是增殖的，如果對一。當x是希爾伯特空間時，一個多值增殖運算元就是一個單調運算元。多值增殖運算元有一個等價刻畫。當λ>0,對一切[x1,yj]∈A,i=1,2。有下列克蘭多爾－利格特定理：設A是巴拿赫空間x上的一個閉的多值增殖運算元，並且存在λ>0，使一切t>0及一都存在，並且T(t)是一個非線性壓縮半群。但是其逆命題一般是不成立的。事實上有例子表明：存在著一個沒有生成元的壓縮半群,即對每都不存在。然而當x是一個希爾伯特空間時，上述定理中的條件相當於A是極大單調的。這時其逆定理在下述意義下成立。設x是一個希爾伯特空間,那么在x 的極大單調運算元A與閉凸子集C上的非線性壓縮半群之間存在著一一對應如下:①對每個極大單調運算元A，存上的唯一的非線性壓縮半群T(t),使得A0x是Ax中取極小模的元素}是這半群的生成元;②對每個在閉凸子集C上定義的非線性壓縮半群T(t),存在唯一的極大單調運算元A,使得，並且A0是T(t)的生成元。非線性半群理論在非線性發展型方程和非線性各態歷經理論的研究中有重要的套用。
套用——泛函分析
泛函分析是是研究無限維線性空間上的泛函式和運算元理論的一門分析數學，是數學許多分支的內容和方法的統一處理，它概括了變分法、微分方程與積分方程、實變函式論、函式逼近論、運算元理論中的某些個別的論證，並給出了一般的論證方法，表現了數學方法的本質的內在聯繫。所謂運算元，也叫算符，在數學上，把無限維空間到無限維空間的變換叫做運算元。所謂泛函式即指，給定任意兩個集合X和Y，給定一個法則f，假如對每一元素x∈X，依f可唯一確定y∈Y和它對應，則稱在X上定義了一個抽象函式或運算元y=fx，其值域包含在Y內，若運算元的值是實數，則稱該運算元為泛函式。泛函分析的特點是，它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且還把這個概念和方法幾何化了。泛函分析的主要內容包括拓撲線性空間及其運算元理論、廣義函式論、非線性泛函分析等，它在數學物理方程、機率論、計算數學、連續介質力學、量子物理學中都有廣泛的套用。它雖形成於本世紀30年代，但目前已發展成一門理論完備、內容豐富的數學學科了。
