m耗散運算元

m耗散運算元是運算元半群理論的一個重要概念。設X是一實巴拿赫空間，F：X→2^X*是對偶映射。一個運算元A：D(A)⊂X→2^X稱為耗散的，若對任意的x₁，x₂∈D(A)，存在f∈F(x₁-x₂)使得f(y₁-y₂)≤0對一切y₁∈Ax₁和y₂∈Ax₂成立。一個耗散運算元A稱為m耗散的，若R(I-A)=X，這裡R(·)表示值域。

基本介紹

• 中文名：m耗散運算元
• 外文名：m-dissipative operator
• 所屬學科：數學
• 相關概念：巴拿赫空間、對偶映射等

定義

記 的對偶集是 從Hahn-Banach定理知， 。

設A是X中的線性運算元，稱A為耗散的，如果 存在 使得 稱A是保守耗散的，如果 稱A是m耗散的(或m保守耗散的)，如果A 是耗散的(或保守耗散的) ，且 。

相關性質

首先考慮耗散運算元的刻劃與性質。

定理1 (a) A 是耗散的的] 。

若A是稠定的耗散運算元，則

(b) A是可閉的，且 是耗散的。若再設 則A是m耗散的。

(c) 是m耗散的 A*是m 耗散的 A*是耗散的 。

其次考慮收縮半群的刻劃及m耗散運算元的性質。

定理2 (a) (Lumer-Phillips) 是稠定的m耗散運算元。

若A是m耗散的，且

（b） 則 。

（c）X是自反的，則 。

（d） 為A在 中的部分，則 。

現在利用m保守耗散運算元來刻劃等距半群。

定理3 (a) A生成一等距半群 A是稠定的m保守耗散運算元。

(b)設A是m保守耗散運算元，則A在 中的部分 生成 中一等距半群。

定理4 以下結論等價：

(a)A生成一等距群

(b)A是稠定的，且 均為m耗散的。

(C) A是稠定的， 且 。

注:若A生成等距群，則 且 有界若且唯若 特別 若A生成等距半群，但不生成等距群，則 且 是X的真閉子空間及 。

定理5 (Cooper)A在H中生成一個等距半群 是極大對稱的運算元，且。