抽象柯西問題

抽象柯西問題是以向量值函式為解的微分方程的初值問題。運算元半群理論和抽象柯西問題與馬爾可夫過程有很密切的聯繫。

基本介紹

• 中文名：抽象柯西問題
• 外文名：abstract Cauchy problem
• 適用範圍：數理科學

簡介

抽象柯西問題是以向量值函式為解的微分方程的初值問題。

設A是巴拿赫空間X上的線性運算元，定義域是𝓓(A)，y₀∈X，是否有取值於X上的向量值函式y(t)，滿足：

1、y(t)∈𝓓(A)(t>0)，在任何[α,β]⊂(0,+∞)上強可導。

2、。

3、。

此問題稱為抽象柯西問題。

解

如有y(t)滿足抽象柯西問題的1-3條件，則稱y(t)是方程適合柯西條件y(0)=y₀的解。

套用

通常的熱傳導方程、薛丁格方程，以及用矩陣表示的波動方程都可納入抽象柯西問題。

用運算元半群為工具研究上述抽象柯西問題可得到如下結構：設A是C₀類運算元半群{T_t|t≥0}的無窮小生成元，則方程的抽象柯西問題對每個y₀∈𝓓(A)有惟一解T_ty₀。

運算元半群理論和抽象柯西問題與馬爾可夫過程有很密切的聯繫。