《運算元代數上的非線性映射及其在量子信息中的套用》是依託清華大學，由崔建蓮擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：運算元代數上的非線性映射及其在量子信息中的套用
- 依託單位：清華大學
- 項目負責人：崔建蓮
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
近十多年來，運算元代數上映射的不變數研究得到許多學者的關注。特徵值分析在許多學科中有著重要的套用，在套用數學中，研究者更加看重一個矩陣或運算元逆的範數，這樣pseudo譜應運而生。pseudo譜能否刻畫運算元？這將是本項目要探索的一個問題，作為套用，進而刻畫以運算元的各種乘積的pseudo譜為代數不變數的運算元代數間非線性映射的結構；探索基本運算元代數上保持運算元Jordan乘積的peripheral譜的非線性映射的結構；以運算元斜乘積的酉（相似）不變範數為幾何不變數，刻畫運算元代數間非線性映射的結構；獲得von Neumann代數上強保持斜Lie積的非線性映射的結構；探討運算元代數間保持按照因子交換的非線性映射的結構特徵，進而給出保持按照因子乘積的酉相似不變泛函的非線性映射的刻畫。套用於量子信息理論，探討複合態的可分性問題，研究保持簡單張量積凸組合的一般映射，進一步解決量子信息理論中提出的幾個數學問題。
結題摘要
四年來，課題組順利完成項目計畫任務，分別刻畫了基本運算元代數上保持運算元某些乘積的pseudo譜的非線性映射的結構；獲得保持斜-Lie積pseudo譜的非線性映射的結構；給出一般von Neumann代數之間ξ-Lie可乘雙射的結構；得到任意Banach空間套代數上線性映射成為導子的充要條件；獲得保持Hilbert空間上自伴運算元的廣義Jordan乘積的邊緣譜的映射的完全刻畫和分類；得到保持廣義乘積的邊緣譜一般映射的結構以及保持廣義Jordan乘積邊緣譜一般映射的結構；獲得運算元代數上保持斜ξ-Lie零積可加映射的結構；給出運算元代數之間保持Lie積數值域的一般映射的分類。矩陣代數之間的正線性映射的研究既有理論上的重要意義，也有量子信息理論中的重要套用，它是判別量子糾纏性的重要工具。我們給出4階矩陣代數上由兩個置換構造的D-型映射成為正映射的充分必要條件；探討了量子態空間上保持純態和凸組合的映射的刻畫和分類，成功地得到把（可分）純態映為（可分）純態且保持嚴格凸組合映射的完全刻畫和分類，並得到這些映射與單射（局部）量子測量的緊密關係，揭示了單射（局部）量子測量的幾何特徵；我們還把有限維二體量子態糾纏性的一個不等式判據推廣到無限維系統，這是比重排判據和CCNR判據更強的判據；利用系統的各個雙粒子分割平均部分熵探討了任意維多粒子純態糾纏；在SLOCC下對任意維的多粒子純態經由係數矩陣的秩給出糾纏分類；通過係數矩陣，給出刻畫糾纏態大小的一個新的糾纏度量，並證明了它滿足糾纏單配性，給出一個態是極大糾纏的必要條件，也用此度量回答了一個四粒子態是否是極大糾纏的問題。
