《能量臨界情形的非線性Schrodinger方程》是依託四川師範大學，由黃娟擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：能量臨界情形的非線性Schrodinger方程
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：黃娟
- 依託單位：四川師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究能量臨界情形的非線性Schr?dinger方程. 我們擬利用變分方法的思想和技巧結合調和分析技術，針對該類方程的Cauchy問題進行研究. 首先，根據該類方程的特徵建立適宜的變分問題，結合其Cauchy問題的Hamilton性質, 建立不變發展流. 通過發展流的不變性把發展方程的適定性與定態非線性橢圓方程的基態有機地聯繫起來. 其次，根據該類問題的局部適定性, 一方面，在不變發展流上運用調和分析技術研究方程對應Cauchy問題解的整體存在性; 另一方面，結合發展流的不變性，運用變分技術討論方程對應Cauchy問題解在有限時間內爆破的條件. 最後, 將這兩方面相結合建立起一套工作框架, 討論該類方程的Cauchy問題解整體存在和在有限時間內爆破的最佳門檻條件. 從而在此基礎上進一步探求該類方程的其它性質.
結題摘要
研究能量臨界情形的非線性Schrödinger方程和與它相關方程的動力學行為. 一方面,研究能量臨界情形的非線性Schrödinger方程. 根據方程的性質,運用變分技術構造適宜的泛函和約束變分問題,結合其Cauchy問題的Hamilton性質,建立不變發展流. 同時, 引入調和分析技術進行討論,綜合兩方面的研究得到方程解整體存在和在有限時間內的爆破的最佳條件以及解的散射性質等動力學行為. 另一方面, 研究能量臨界情形的非線性Schrödinger方程相關的方程(如Hartree方程). 通過對方程的研究,建立適宜的變分問題,得到相應的不等式. 再結合其Cauchy問題的Hamilton性質, 建立不變發展流. 考慮其整體解的存在性、有限時間的坍塌性質，獲得這些方程對應孤立子的存在性和穩定性等動力學行為. 項目的研究和執行，讓項目組成員獲得了數學上關於偏微分方程的一些研究成果,也為相應的物理研究提供必要的理論支撐和幫助. 同時，也使得本項目的研究成員不斷成長.
