數學物理中非線性Schrodinger方程的孤立波理論研究

《數學物理中非線性Schrodinger方程的孤立波理論研究》是依託北京套用物理與計算數學研究所，由王言金擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：數學物理中非線性Schrodinger方程的孤立波理論研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：王言金
• 依託單位：北京套用物理與計算數學研究所

項目摘要

非線性Schrodinger方程作為量子力學的一個基礎數學模型，其孤立波解是方程的一類穩定的、能量有限的不彌散解。孤立波理論在非線性光學、經典場論、量子論等領域均有廣泛的套用背景。本項目將以具有套用背景的非線性Schrodinger方程（組）作為研究對象，通過構造合適的變分問題研究方程的孤立波理論，並進一步論證方程解的全局存在性和爆破性；通過計算機手段，構造合適的離散格式從數值計算的角度驗證孤立波的相關性質，幫助物理工作者進一步認識物理規律。另外本項目還將在帶有任意正初始能量的非線性 Schrodinger方程解爆破理論方面開展探索性研究工作，進一步完善非線性Schrodinger方程的數學理論。本項目的研究對完善非線性Schrodinger方程理論、深入認識物理現象和內在規律，為物理工作者的套用研究提供理論依據方面，都具有十分重要的意義。

結題摘要

本課題主要利用變分方法研究數學物理中的Schrodinger方程。首先針對帶有廣義勢的Hartree方程、Schrodinger-Poisson方程、Hartree-Fock方程（N-body Hartree方程），在一定假設的前提下研究了方程孤立波的性質，論證了方程孤立波解的存在性，並證明了方程孤立波的強不穩定性。對於帶有廣義勢的Hartree方程，我們還得到了其古典極限的相關性質。還有我們還研究了一類高階波方程，並給出了對於任意正初始能量方程解的局部爆破的一個充分條件，就我們所知我們是第一個得到對於任意正初始能量的波方程解爆破的充分條件結論。最後，藉助於Maple數值工具我們利用指數函式法初步開展了帶有調和勢的Schrodinger方程的精確解。