《非線性四階Schrodinger方程在臨界空間中的行為》是依託中國科學技術大學，由趙立豐擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：非線性四階Schrodinger方程在臨界空間中的行為
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：趙立豐
- 依託單位：中國科學技術大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
作為一類重要的色散波方程，非線性四階Schr?dinger方程以其具有的豐富物理背景和數學結構，吸引了很多數學家對其進行研究。特別是對這一方程在臨界空間中的行為的研究，在物理上還有很多疑問，在數學上也充滿挑戰。本項目旨在研究能量臨界和質量臨界的四階Schr?dinger方程的Cauchy問題，分析它們的解分別在能量空間和L^2中的整體適定性、散射和爆破機制。我們所用到的方法主要是能量歸納方法和緊性-反證方法。它們的共同特點是把極小能量（質量）爆破解歸結為幾乎周期解，從而證明它們具有更好的正則性。再結合其它的分析技術，我們就可以排除這樣的極小能量（質量）爆破解。在本項目中，我們將對現有的方法與技巧進行推廣、發展和改進，所得的結論也將對相應的物理現象的分析起重要作用。另外，我們也將通過四階Schr?dinger方程的研究，對色散波方程中一些相關的公開問題進行嘗試。
結題摘要
色散波方程是一類重要的數學物理方程，其數學理論近年來取得了突飛猛進的發展。在本項目中，我們對四階Schrodinger方程和具有混合非線性項的Schrodinger方程這兩類色散波方程進行了研究，得到了這兩類方程在臨界空間中的行為。首先，我們利用緊性－矛盾方法證明了能量臨界的四階Schrodinger方程的徑向解當初值的能量小於基態的能量，並且動能小於基態的動能時在能量空間中的整體適定性和散射。當然，用同樣的方法也可以證明對於非聚焦的方程的有限能量徑向解的整體適定性及散射；進而對於高維非聚焦方程我們把上面的結果去掉徑向條件，推廣到了一般初值的情況，也得到了整體適定性及散射結果。最後，對於具有混合非線性項的Schrodinger方程，我們處理了一個是聚焦的能量臨界，另一個是能量次臨界且質量超臨界的情形。我們得到了能量門檻，證明了在這個門檻之下且符號泛函為正時，方程的徑向解整體適定並且散射；而當符號泛函為負時方程的解在有限時刻爆破。對於高維的情形，我們去掉了徑向條件。
