線彈性問題的自適應混合有限元方法

《線彈性問題的自適應混合有限元方法》是依託北京理工大學，由滿紅英擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：線彈性問題的自適應混合有限元方法
• 依託單位：北京理工大學
• 項目負責人：滿紅英
• 項目類別：青年科學基金項目

項目摘要

以後驗誤差估計和自適應格線改進技術為核心的自適應方法已被廣泛用於有限元離散問題的數值求解中，並表現出色；可同時逼近位移與應力的混合有限元方法是數值求解線彈性問題的強有力工具。本項目主要研究線彈性問題的自適應對稱型混合有限元方法。我們首先研究三維線彈性問題對稱型協調有限元方法的後驗誤差估計。利用三維彈性序列給出應力的Helmholtz分解，據此構造殘量型的後驗誤差估計子並證明其可靠性；利用對稱型混合元和四階問題有限元之間的關係，構造性地證明估計子的有效性。其次研究線彈性問題對稱型非協調混合元方法的殘量型後驗誤差估計。套用Helmholtz分解把應力誤差分解為協調誤差和非協調誤差兩部分，然後分別估計得到誤差估計子的可靠性。最後利用所構造的後驗誤差估計子設計求解線彈性問題的對稱型混合元自適應算法，研究擬正交性、離散Helmholtz分解、離散上界等重要性質，證明算法的收斂性和最優性。

結題摘要

混合有限元方法可同時求解位移和應力，是數值求解線彈性問題的強有力工具。相對於標準有限元方法，混合有限元方法由於在計算中涉及到更多的未知量而使計算規模增大，因此如何構造混合元離散問題可靠且有效的後驗誤差估計子，最佳化格線加密策略，實現問題的高效自適應計算具有重要的套用價值。 本項目主要研究了線彈性問題的對稱型混合有限元方法及其離散問題的後驗誤差估計。首先我們構造了求解線彈性問題的一族對稱型非協調混合有限元，這族元的應力和位移有限元空間具有很好的匹配性，在形式上關於空間維數具有一致性，可以推廣到任意維問題。我們證明了混合元離散問題解的存在唯一性並給出了最優的先驗誤差估計。對二維、三維問題進行了數值實驗，從數值上驗證了所構造混合元的最優收斂性和超收斂性,並且從理論上證明了這族元的超收斂性。其次我們研究了二維和三維線彈性問題對稱型協調混合元方法的後驗誤差估計。利用應力誤差的Helmholtz正交分解，構造了自適應求解離散問題的殘量型後驗誤差估計子，證明了估計子的可靠性和有效性。通過對不同邊值問題的自適應數值計算，驗證了所構造後驗誤差估計子的可靠性和有效性，數值計算表明我們所構造的自適應算法具有最優的收斂性。最後我們研究了對稱型非協調混合元離散問題的後驗誤差估計。本項目現已發表SCI檢索論文2篇。 需要特別指出的是我們最近幾年所得到的關於線彈性問題對稱型混合有限元方法的研究成果，得到了工程界研究人員的關注，被用於求解一些工程問題並取得了比較好的計算效果，接下來我們將深入研究對稱型混合元方法在實際工程計算中的套用。