《組合彈性結構問題的混合DG有限元方法與高效求解》是依託上海交通大學，由黃建國擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：組合彈性結構問題的混合DG有限元方法與高效求解
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：黃建國
- 依託單位：上海交通大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
組合彈性結構問題數值解是當代結構工程、多場耦合力學和大規模科學計算等領域的交叉研究方向，套用前景廣泛。項目申請人與合作者經不懈努力業已系統建立組合彈性結構問題位移型有限元方法及誤差分析理論。但從實際套用角度看，往往更需要獲得應力（彎矩）的精確數值解，因此急待發展求解該問題的混合元方法。本項目擬在自己已有工作的基礎上，利用處理組合彈性結構問題的內蘊推演技巧，間斷張量場各類跡量表式變換工具，藉助前人提供的穩定型混合DG有限元方法的構造框架等成果，獲得組合彈性結構問題的穩定混合DG有限元方法，並建立系統的誤差估計理論。要求所得算法力學意義明晰，計算格式簡潔，便於實際運用。同時，考慮到對混合DG有限元方法導出的線性方程組進行快速、高效求解的研究在國際上幾乎還是空白，我們將以預處理GHSS-Krylov子空間方法和預處理Uzawa方法為基礎，建立求解該類廣義鞍點型線性方程組的高效計算方法。
結題摘要
間斷Gakerkin（DG）方法的構造、分析與套用是近三十年來科學計算領域的熱點研究方向，在求解很多數學物理方程時，取得了巨大的成功。使用混合間斷Galerkin方法數值求解彈性結構問題時也有諸多優點，一是應力場是自動對稱的，二是便於高維推廣。因此，在本項目的資助下，對彈性結構的混合DG有限元方法開展了系統、深入研究工作。 (1) 對於Kirchhoff板彎問題，通過對單元邊界上的切向彎矩、法向彎矩、切向剪力等各力學量引進數值痕，利用間斷張量場的相關恆等式和Cockburn等構造HDG方法的基本思想和細緻推導，獲得了求解該問題的一個新型雜交DG方法。這個方法有諸多優點：一方面，該方法得到的數值解具有最優逼近誤差估計，且通過後處理得到的撓度場具有超收斂性：另一方面，通過單元內部自由度消去過程，對於該離散化方法，我們只需求解定義在區域剖分界面上的未知量相應的對稱正定線性方程組即可的數值結果，從而大為降低了計算複雜度。類似地，我們也構造了SCDG方法和LCDG方法並進行了誤差分析和後處理分析。為了提高計算效率，也研究了混合DG方法的後驗誤差估計和自適應方法。 (2) 對於線性彈性力學問題，基於我們原有的算法框架，通過在原有雙線性型中以局部提升運算元代替全局提升運算元，並省略若干跳量項，獲得了求解線性彈性力學問題的一個緊緻型DG方法，從而使得相應的離散化問題規模得以減小，同時計算過程關於Lame係數$\lambda$是穩健的。另外，我們也得到了前面的算法框架的hp型最優誤差估計。 (3) 在離散化問題高效求解方面，我們構造了若干Uzawa型和Arrow-Hurwicz型疊代方法高效求解由混合元方法離散化定常不可壓流體力學問題導出的非線性方程組。經過巧妙的分析，我們發現這些算法執行簡便，收斂速度都不依賴於有限元剖分尺度，這樣的結果在已知文獻中並不多見。這些研究將對我們構造求解彈性力學問題混合DG方法導出的線性方程組的高效算法有重要借鑑意義。 總體而言，我們在Inverse Problems、Journal of Scientific Computing和Numer. Methods for PDEs等國際有重要影響的學術刊物共發表SCI論文10篇，基本完成項目擬定計畫和目標。
