《自適應人工邊界方法及其在非線性問題中的套用》是依託上海大學，由劉東傑擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：自適應人工邊界方法及其在非線性問題中的套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：劉東傑
- 依託單位：上海大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
無界區域上非線性偏微分方程的數值求解是一個既有廣泛的工程套用背景，又具有挑戰性的困難課題。傳統的人工邊界方法求解此類問題，不論非線性人工邊界條件的構造還是有限元邊界元耦合法數值求解非線性問題，都面臨很多困難。本項目將結合自適應算法處理非線性問題和含奇性問題的優勢，發展基於自適應有限元和邊界元耦合法的自適應人工邊界方法，並將其套用到典型的非線性外問題的數值求解中。具體研究內容如下：1. 發展非線性彈性問題的自適應有限元方法；2. 構造非線性傳輸問題的精確非線性人工邊界條件，研究超奇異積分的自適應算法及其超收斂性；3. 研究非線性傳輸問題的自適應人工邊界法；4. 將自適應人工邊界方法用於計算簡單電磁場問題。本項目將推廣邊界元方法和人工邊界方法，研究成果不僅為一般非線性外問題的數值求解提供理論基礎和參考, 而且將豐富彈性力學、電磁學、超奇異積分數值計算。
結題摘要
非線性偏微分方程的數值求解是一個既有廣泛的工程套用背景，又具有挑戰性的困難課題。本項目結合了自適應算法處理非線性問題和含奇性問題的優勢，主要研究了如下內容：1.非線性彈性問題的自適應有限元方法。我們分別考慮了協調有限元和非協調有限元方法，並提出了離散混合有限元方法，三種方法均給出了有效的先驗和後驗誤差估計，以及相應的數值試驗。2. 非線性P-Laplace問題的自適應有限元方法。在新的擬範數意義下，我們得到求解該問題的新的理論框架，理論分析和數值實驗結果一致。3. 邊界歸化中不可避免的超奇異積分的自適應算法。我們發展了超奇異積分的自適應求積公式，減小了計算成本。4. 彈性發展問題的dG方法。 我們從變分不等式的角度出發，證明了離散形式和離散對偶形式的等價性，給出了彈性發展方程全離散的誤差估計，最後通過數值實驗驗證理論分析結果。5. 自適應人工邊界法及其在非線性問題中的套用。以上研究內容均由有相關文章發表和完成。研究成果不僅為一般非線性問題的數值求解提供理論基礎和參考, 而且將豐富彈性力學、流體力學、超奇異積分數值計算，在推廣自適應有限元方法，自適應邊界元方法方面有著重要的促進作用。
