非定常彈性力學問題的自適應時空有限元方法

《非定常彈性力學問題的自適應時空有限元方法》是依託上海交通大學，由黃建國擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：非定常彈性力學問題的自適應時空有限元方法
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：黃建國
• 依託單位：上海交通大學

項目摘要

非定常彈性力學問題高性能數值解是科學計算領域的重要研究方向。本項目擬對以位移場為未知量的非定常拉梅方程組和以撓度場為未知量的非定常克希霍夫板彎方程，在時間方向採用一次或二次連續伽遼金方法進行離散，在空間方向對位移場採用協調元或Crouzeix-Raviart非協調元進行離散而對撓度場採用Morley元、修正Morley元或Adini元等矩形元進行離散，獲得相應時空有限元數值解法。基於項目申請人提出的二階發展方程的高階重構運算元，使用橢圓重構技巧和能量方法，導出這些有限元全離散方法的可靠後驗誤差估計，進而構建相應的自適應時空有限元方法，並進行數值模擬和收斂性分析。考慮到在時間方向採用二次連續伽遼金方法進行離散時，要求解一個非標準的2x2塊結構線性方程組，因此還將構建高效預處理GMRES/MINRES方法來求解該問題。本項目研究內容和目標在自適應有限元領域屬國際前沿，且套用前景廣泛。

結題摘要

（1）以波動方程為研究對象，提出C0P1和C0P2時空全離散有限元方法。借鑑已有研究成果巧妙構建橢圓重構運算元，基於橢圓重構技巧和能量方法，建立了以上方法穩定後驗誤差估計並導出自適應有限元方法。數值實驗結果令人滿意。該研究方法適用於一大類發展方程的相應研究，比如與定常拉梅方程組和定常克希霍夫板彎方程有限元方法的後驗誤差估計相結合，可以導出相應非定常拉梅方程組和非定常克希霍夫板彎方程時空全離散方法的後驗誤差估計並構建自適應有限元方法。本專題研究難度大，取得成果創新性強。（2）對於規則空間區域上時間方向任意階導數的半線性發展方程，在空間方向使用四階緊緻差分格式離散，通過FFT將其化為便於求解的常微分方程組，使用Duhamel原理導出該問題顯式解，然後對非線性項使用多步逼近近似並對相應積分進行顯式計算，最終獲得一類快速緊緻時間積分高效數值求解方法。系列數值模擬實驗驗證了算法的高效性。同時提出求解帶Neumann邊界條件半線性拋物型方程的一類高精度ETD方法，解決了論文Zhu-Ju-Zhao (2016)中提出的一個公開問題。（3）在時間方向採用C0Pm方法離散，在空間方向採用一類非協調元離散，獲得求解非定常彈性力學問題關於Lamé係數穩健的時空全離散方法。相關研究在國際上居於領先地位。在虛擬元方法的理論與套用和求解一類非線性鞍點問題的廣義Arrow-Hurwicz方法的構造與收斂率分析等方面也取得重要成果。總計發表學術論文21篇，其中在Journal of Computational Physics、Journal of Scientific Computing、Applied Mathematics Letters、Journal of Computational and Applied Mathematics、Applied Numerical Mathematics和Communications in Computational Physics等科學計算領域有重要影響的學術刊物正式發表SCI論文16篇，並線上發表SCI論文1篇。以本項目成果為內容在第八屆世界華人數學家大會上做邀請報告（45分鐘）。基本完成項目擬定計畫和目標。