算術-幾何平均值不等式

算術-幾何平均值不等式，簡稱算幾不等式，是一個常見而基本的不等式，表現了算術平均數和幾何平均數之間恆定的不等關係。

基本介紹

  • 中文名：算術-幾何平均值不等式
  • 簡稱：算幾不等式
介紹,證明,例子,推廣,參見,

介紹

算術-幾何平均值不等式，簡稱算幾不等式，是一個常見而基本的不等式，表現了算術平均數和幾何平均數之間恆定的不等關係。設
為n個正實數，它們的算術平均數是
，它們的幾何平均數是
。算術-幾何平均值不等式表明，對任意的正實數，總有：
等號成立若且唯若。
算術-幾何平均值不等式僅適用於正實數，是對數函式之凹性的體現，在數學、自然科學、工程科學以及經濟學等其它學科都有套用。
算術-幾何平均值不等式有時被稱為平均值不等式（或均值不等式），其實後者是一組更廣泛的不等式。

證明

使用常規數學歸納法的證明則有喬治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代數論》（algebra）的第二卷中給出的：
由對稱性不妨設
是
中最大的，由於
，設
，則
，並且有
。
根據二項式定理，
於是完成了從n到n+1的證明。

例子

在n=4 的情況，設:
， 那么
可見
。

推廣

不僅“均勻”的算術平均數和幾何平均數之間有不等式，加權的算術平均數和幾何平均數之間也有不等式。設
為正實數，並且
，那么：
加權算術-幾何平均不等式可以由琴生不等式得到。

參見

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