基本介紹
定義,性質,特例,不等式的證明,不等式之等價,幾何平均,冪平均不等式,推廣,套用,
定義
若p是一非零實數，可定義實數
的p次冪平均為
性質
（2）與幾何算術平均一樣，這種平均的計算可以分解成同樣大小的子塊來計算。
（3）一般地，如果 p<q，則 
且這兩個平均相等若且唯若
。這由事實
得出，上述不等式可由琴生不等式證明。
特別地，對
，冪平均不等式蘊含了畢達哥拉斯平均不等式以及算術幾何平均不等式。
特例
不等式的證明
不等式之等價
假設指數p與q的冪平均間有不等式：
則
我們在兩邊取倒數（正實數上的嚴格遞減函式，不等號反向）：
我們得到了關於 -p與 -q的冪平均不等式，同樣的推理可以倒推，從而證明了兩個不等式等價，這在後面的證明中將用到。
幾何平均
對任何q，指數為q的冪平均與幾何平均之間的不等式為：
（第一個不等式對正數q，第二個對負數）
我們在兩邊取q次冪：
兩邊取指數函式（嚴格遞增），我們得到了不等式：
從而對任何正數q，下式成立：
因為此不等式對任何q成立，足夠小同樣成立，可以將證明（利用洛必達法則），當q趨於 0 時，左右兩邊趨於幾何平均，q趨於 0 時的冪平均是幾何平均：
冪平均不等式
我們將證明對任何p<q如下不等式成立：
如果p是負數且q是正數，不等式等價於上面已證過的
對正數p與q的證明如下：定義函式 
f是一個冪函式，所以有二階導數：
，在f的定義域內嚴格正，因為q>p，從而我們知道f是凸的。
利用這一點以及琴生不等式，我們得到：
兩邊取 1/q次冪（遞增函式，因 1/q 為正數）我們得到了欲證之不等式：
最後使用先前證過的等價性，我們得到了關於負數p與q的不等式，證畢。
