合成平均

合成平均是一種特殊平均，設a>b>0，a₀=a，b₀=b，a_n，b_n(n=1，2，…)分別是a_n-1與b_n-1的算術平均與調和平均，則lim_n→∞a_n=lim_n→∞b_n=√(ab)，這說明幾何平均可以通過算術平均與調和平均構成的數列得到，這種思想的一般化就是合成平均。

基本介紹

• 中文名：合成平均
• 所屬學科：數學
• 簡介：幾何平均、調和平均等的合成
• 舉例：算術幾何平均

基本介紹

合成平均是一種特殊平均，設a>b>0，a₀=a，b₀=b，a_n，b_n(n=1，2，…)分別是a_n-1與b_n-1的算術平均與調和平均，則

這說明幾何平均可以通過算術平均與調和平均構成的數列得到。這種思想的一般化就是合成平均。

設a>b>0，M(a，b)，N(a，b)表示a，b的某兩種平均，定義a₀=a，b₀=b，a_n=M(a_n-1，b_n-1)，b_n=N(a_n-1，b_n-1)，若

與

存在且相等，則這個極限值記為MN(a，b)，若

MN(a，a)=a，MN(a，b)=MN(b，a)，

則MN(a，b)稱為a，b關於M與N的合成平均。前述結果可表示為G=AH，其中G，A，H分別表示幾何平均、算術平均、調和平均，對任意實數p，q，冪平均M_p與M_q的合成平均M_pM_q總存在，且M_pM_q=M_r若且唯若p+q=r=0。合成平均可交換，即

MN=NM.

舉例說明

算術-幾何平均是一種特殊平均，即算術平均與幾何平均的合成平均，設a₀=a>b=b₀>0，a_n=1/2(a_n-1+b_n-1)，b_n=√(a_n-1·b_n-1)，則a_n和b_n有共同的極限，這個極限稱為a，b的算術-幾何平均，一般記為AMG(a，b)，這是由高斯(C.F.Gauss)命名的。

設a和b是兩個正數，定義數列和如下

這裡。由算術幾何平均不等式，明顯地，．根據數學歸納法容易證明數列是遞減的，而是遞增的，等價於

清楚地，

進而得到

因此，這兩個數列有共同的極限，即

我們稱該極限為a和b的算術-幾何平均AGM(a，b)，也有一些文獻用AG(a，b)表示這個平均.。Lagrange和Gauss首先研究了這個平均，但是這個平均真正的重要性以及與橢圓積分的聯繫屬於Gauss，有時也稱這個平均為Gauss算術-幾何平均。