平均數不等式

平均數不等式,或稱平均值不等式均值不等式,是數學上的一組不等式,也是基本不等式的推廣。

基本介紹

  • 中文名:平均數不等式
  • 別稱:平均值不等式、均值不等式
  • 學科數學
定義,證明方法,參見,

定義

平均數不等式,或稱平均值不等式均值不等式,是數學上的一組不等式,也是基本不等式的推廣。它是說:
如果
是正數,則
其中:
若且唯若
,等號成立。即對這些正數:調和平均數幾何平均數算術平均數平方平均數(方均根)簡記為:“調幾算方”。

      證明方法

      關於均值不等式的證明方法有很多,數學歸納法(第一數學歸納法或反向歸納法)、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等,都可以證明均值不等式,在這裡簡要介紹數學歸納法證明n維形式的均值不等式的方法:
      用數學歸納法證明,需要一個輔助結論。
      引理:設A≥0,B≥0,則
      ,且僅當B=0時取等號。
      引理的正確性較明顯,條件A≥0,B≥0可以弱化為A≥0,A+B≥0,可以用數學歸納法證明。
      原題等價於:
      , 若且唯若
      時取等號。
      當n=2時易證;
      假設當n=k時命題成立,即
      , 若且唯若
      時取等號。
      那么當n=k+1時,不妨設
      中最大者,則
      ,根據引理
      ,若且唯若
      時,即
      時取等號。
      利用琴生不等式法也可以很簡單地證明均值不等式,同時還有柯西歸納法等方法。

      參見

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