基本介紹
- 中文名:均值定理
- 外文名:Mean value theorem
- 別稱:基本不等式
- 表達式:Gn≤An
- 套用學科:數學
- 適用領域範圍:函式求最值問題
- 適用領域範圍:高中數學
- 相關:均值不等式
定義,幾何含義,推廣,例題,
定義
均值定理:對於任意兩個正實數a、b,都有
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若且唯若a=b時,等號成立。
注:運用均值不等式求最值條件
注:運用均值不等式求最值條件
①
,
;
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②a和b的乘積ab是一個定值(正數);
③等號成立條件。
相關重要不等式:
①
;
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②
;
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③
。
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幾何含義
一個矩形的長為a,寬為b,畫兩個正方形,要求第一個正方形的面積與矩形的面積相同,第二個正方形的周長與矩形的周長相同,如圖1所示。第一個正方形的面積為ab,則其邊長為
;第二個正方形的周長為
,邊長為
。可以看出第一個正方形面積不大於第二個正方形,即邊長關係
。
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推廣
均值不等式
其中:對於任意非負實數
,有
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例題
(1)當
時,求
的最大值。
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解:
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若且唯若
,即
時,
取最大值8。
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(2)當
時,求函式
的最小值。
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解:
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若且唯若
,即
時,
取最小值3。
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