均值不等式

均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是數學中的一個重要公式。公式內容為H_n≤G_n≤A_n≤Q_n，即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數。

基本介紹

• 中文名：均值不等式
• 外文名：Inequality of arithmetic and geometric means
• 表達式：Hn≤Gn≤An≤Qn
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：不等式

定義

被稱為均值不等式。·即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數，簡記為“調幾算方”。

其中：

，被稱為調和平均數。

，被稱為幾何平均數。

，被稱為算術平均數。

，被稱為平方平均數。

證明

關於均值不等式的證明方法有很多，數學歸納法（第一數學歸納法或反向歸納法）、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以證明均值不等式，在這裡簡要介紹數學歸納法的證明方法：

（註：在此證明的，是對n維形式的均值不等式的證明方法。）

用數學歸納法證明，需要一個輔助結論。

引理：設A≥0，B≥0，則，且僅當B=0時取等號。

註：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0，有興趣的同學可以想想如何證明（用數學歸納法）（或用二項展開公式更為簡便）。

原題等價於：, 若且唯若時取等號。

當n=2時易證；

假設當n=k時命題成立，即, 若且唯若時取等號。那么當n=k+1時，不妨設是、......中最大者，則

設，

，根據引理

，若且唯若且時，即時取等號。

利用琴生不等式法也可以很簡單地證明均值不等式，同時還有柯西歸納法等等方法。

推廣

一般形式

設函式()；。

是上的連續單調遞增函式。時，。

可以注意到，min{an}≤H_n≤G_n≤A_n≤Q_n≤max{an}僅是上述不等式的特殊情形。

特例

⑴對實數a,b，有（若且唯若a=b時取“=”號），（若且唯若a=-b時取“=”號）

⑵對非負實數a,b，有，即

⑶對非負實數a,b，有

⑷對非負實數a,b，a≥b,有

⑸對非負實數a,b，有

⑹對實數a,b，有

⑺對實數a,b,c，有

⑻對非負數a,b，有

⑼對非負數a,b,c，有

在幾個特例中，最著名的當屬算術—幾何均值不等式（AM-GM不等式）：

當n=2時，上式即：

若且唯若時，等號成立。

根據均值不等式的簡化，有一個簡單結論，即。