加強不等式是一種數學方法
為了證明一個不等式,通常現有的方法無法將公式套上去時,可以引入加強不等式,通常要有一定的做題經驗才能準確判斷該加強到什麼地步.
加強不等式就是為了證明一個不等式A,而去證明另一個不等式B,若B成立則A顯然成立,那么B就是A的加強不等式.
比如,你要證明X+Y大於Z,那么你就可以證明X+Y大於Z+1(前提是的確如此),看上去似乎是南轅北轍,但如果在一些比較高級的不等式如複雜的均值不等式,琴生不等式,排序不等式時就使用得比較多了.具體情況還需有充足的做題經驗才能準確判斷應如何加強這個不等式使得這個不等式可以直接套入公式里,這樣比較方便.
這需要靈感與觀察，那個加強的式子通常與原來的數列在形式上有千絲萬縷的聯繫。
舉個例子，2007年的高中數學聯賽題：正整數n>1,求證1/（n+1)+1/(n+2)+...+1/2n<25/36 答案是用數學歸納法證明加強不等式1/（n+1)+1/(n+2)+...+1/2n=<25/36 -1/（4n+1),但這很難憑空想到
此時可設1/（n+1)+1/(n+2)+...+1/2n=<25/36 -1/(f(n))
n=2時，算得1/f(2)<=1/9...①
n=k時,有1/（k+1)+1/(k+2)+...+1/2k=<25/36 -1/f(k)
則當n=k+1時，只證1/（k+2)+1/(k+3)+...+1/2(k+1)=<25/36 -1/f(k+1)
由假設：1/（k+2)+1/(k+3)+...+1/2(k+1)=<25/36 -1/f(k)+1/(2k+1)
+1/(2k+2)-1/(k+1)=25/36 -1/f(k)+1/(2k+1)
於是只證25/36 -1/f(k)+1/(2k+1)-1/2(k+1)=<25/36 -1/f(k+1)
即1/f(k+1)-1/f(k)=<1/(2k+2)-1/(2k+1)...②
又因上式右邊分母均為一次多項式，令f(n)=an+b
代入②式解得4ak^2+6ak+2a>=a^2*k^2+ak(a+2b)+ab+b^2
可得a=<4，b=<1
代入①式得2a+b>=9
故a=4,b=1
