《離散幾何中與凸性相關的若干問題研究》是依託北京林業大學，由司林擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：離散幾何中與凸性相關的若干問題研究
- 依託單位：北京林業大學
- 項目負責人：司林
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
離散幾何與凸幾何的研究不僅與許多其他數學分支如組合、數論、圖論和最佳化理論等有著密切的關係，同時也在計算幾何與幾何算法、編碼理論與數據傳輸、晶體結構理論等實用學科中具有重要套用。近年來，隨著Busemann-Petty問題、Kepler猜想等一些本學科中重要問題的解決，離散幾何與凸幾何的研究引起了人們極大的興趣。. 本項目將利用離散點集的壓縮技術、離散點X射線技術、Ehrhart多項式理論 以及一些組合數學的方法對離散幾何中與凸性相關的幾類問題進行深入研究，擬解決的主要問題有：1、凸格點集的投影與截面問題，建立離散的Aleksandrov型投影定理；2、關於凸格點集的Hadwiger幾何猜想與一般的Hadwiger幾何猜想；3、若干關於凸體的度量關係的離散化形式，主要探討關於凸格點集的類似度量性質。
結題摘要
在國家自然科學基金（編號：11001014）資助下，項目組完成研究論文總計7篇，其中SCI1篇，EI2篇，國核心心期刊3篇，國外期刊1篇. 受項目資助，我共參加相關學術會議七次，其中在2010中日計算幾何、圖論及其套用國際會議上作分會報告：A Property about the Convex Lattice Set in Z2.另外，項目執行期間，項目組還邀請了河北師範大學苑立平教授和北京大學藺友江博士做了相關主題報告. 已完成論文主要研究了如下五方面的問題： (1)關於格點集的度量性質研究 在考察凸格點集的度量性質時，人們必然會想到聯繫格點集所圍面積與其關聯點數關係的Pick定理. 由於在三維空間不存在Pick定理的相應推廣，我們考慮了嵌入在三維空間的任意二維平面，討論了其上格點網的性質並得到了相應的Pick定理，這一結果已經完成並投稿. (2)關於凸格點集截面性質的研究凸體的截面性質已經被很好地做了研究，但凸體的離散對應物-凸格點集的截面性質卻相對複雜，我們仔細研究了二維中的凸格點集，得到了二維中關於凸格點集截面的一些性質，這一結果發表在Springer-Verlag出版的Lecture Notes in Computer Science 7033, 被EI收錄. (3)關於凸格點集的矩陣方法的研究在利用代數方法研究凸格點集的投影性質的過程中，我們對任意非負矩陣的子矩陣建立了一個混合算術幾何平均值不等式, 這推廣了經典的算術-幾何平均值不等式. 這一結果發表在Mathematica Slovaca,被SCI收錄. (4)關於凸體的研究 作為凸格點集在連續情況下的對應物—凸體，它的幾何性質也是我們研究中及於關注的一類研究對象，在凸體的幾何性質方面項目組共發表論文兩篇. 其中一篇由項目組俞武揚完成，發表在“數學物理學報”，另一篇發表在Far East Journal of Mathematical Sciences. (5)若干套用研究 我們利用在研究凸格點集的投影及截面性質時用到的代數方法研究了若干套用問題，發表論文三篇，其中EI收錄一篇.項目執行期間，我們定義了凸格點集的一類距離矩陣，對這一類矩陣的性質的研究還在進行中，我們將繼續在此基礎上研究凸格點集的投影及截面性質.
