《三角剖分、凸性問題及阿基米德鋪砌相關性質研究》是依託河北師範大學，由苑立平擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：三角剖分、凸性問題及阿基米德鋪砌相關性質研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：苑立平
- 依託單位：河北師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬重點研究離散與組合幾何學中的三角剖分、凸性及阿基米德鋪砌相關性質等問題，具體包括： 第一，在以往研究基礎上，進一步探討任意非多面體凸體表面的銳角三角剖分構形，力求獲得統一的剖分數上界，進而將銳角三角剖分研究從歐氏空間擴展至其他度量空間，研究非歐氏空間中的組合銳角三角剖分問題； 第二，研究某些離散點集所成集族F導出的F-凸性問題，重點研究F-凸集的刻畫及相關性質，探究F-凸性與組合幾何中經典有限點集問題之間的關係；探討經典凸性理論中三大基本定理在F-凸性下的相應推廣； 第三，運用數的幾何理論方法研究阿基米德鋪砌頂點集的性質；探討阿基米德鋪砌圖的相關性質。 本項目擬綜合運用圖論、代數、微分幾何、泛函分析等領域中的相關理論和方法，藉助計算機建模和運算，探索解決問題的方向和思路，研究結果對於計算機圖形學及算法理論的創新，以及促進離散與組合幾何中不同領域之間的交叉研究具有重要意義。
結題摘要
本項目主要圍繞離散與組合幾何學中的三角剖分問題、F-凸性問題以及阿基米德鋪砌相關性質等問題開展研究工作，獲得的主要研究成果包括： 一、關於三角剖分問題，確定了平面凸弧圍繞過其兩個端點的直線旋轉所得凸旋轉體表面的銳角三角剖分和非鈍角三角剖分的構形及剖分數的上界。 二、鑒於F-凸性理論是一個新的領域，且當集族F中的元素為離散點集時能夠建立起離散點集與連續集合在某種意義下的統一， 項目負責人與Tudor Zamfirescu院士合作，在該類問題的研究中投入了主要精力，獲得了一系列研究成果，主要包括： （1）研究了直角三角形頂點集形成的集族導出的rt-凸性問題，對連通集及離散點集的rt-凸性進行了刻畫；運用貝爾範疇刻畫了rt-凸集的“多”和“少”問題，研究了關於rt-凸性的泛型問題；進一步刻畫了非rt-凸集的類凸包性質。 （2）研究了等腰三角形頂點集形成集族導出的it-凸性問題，並對連通集、緊集、離散點集的it-凸性進行了刻畫。 （3）研究了矩形的頂點集導出的rq-凸性問題，並對非單連通集、無界集、以及部分離散點集的rq-凸性進行了刻畫。 （4）研究了F-凸性下的F-凸穩定性問題，對凸體和離散點集的自私性進行了刻畫，審稿人評價此項工作“其開啟了凸幾何中一類新概念的研究”。 （5）探討了某些F-凸性下F-凸星形集和F-凸核的性質。 這些結果都為進一步開展F-凸性的理論研究提供了重要的方法借鑑。 三、關於阿基米德鋪砌的研究，確定了關於全部11種阿基米德鋪砌頂點集統一的Blichfeldt-型定理和Minkowski-型定理，以及在某種條件下統一的Pick-型定理。研究了阿基米德鋪砌圖有限子圖的Gallai性質，以及阿基米德鋪砌圖中的定位配對控制集、開定位控制集、填裝著色問題以及格點多邊形的內部格點數問題。 四、成果發表、學術交流及研究生培養情況 項目執行期內項目組發表期刊論文18篇，其中SCI檢索16篇，EI檢索1篇，發表會議論文1篇，接受發表SCI期刊論文1篇，獲河北省自然科學獎二等獎1項。 項目組成員赴國外學術交流7人次，在國內外會議上做大會或分組報告11人次。 項目組培養博士研究生4名，碩士研究生37名，其中2名博士生獲得國家留學基金委資助赴德國進行為期一年的聯合培養。項目執行期內3名博士研究生畢業並獲得理學博士學位，23名碩士研究生畢業並獲得理學碩士學位。
