多面體的銳角三角剖分及其算法研究

《多面體的銳角三角剖分及其算法研究》是依託河北師範大學，由苑立平擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：多面體的銳角三角剖分及其算法研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：苑立平
• 依託單位：河北師範大學

項目摘要

三角剖分理論是離散與組合幾何學的重要組成部分，其在計算機圖形學、算法設計、模式識別、物理模擬、地理信息系統、Auto CAD開發和三維建築造型設計等很多領域都有著十分廣泛的套用。.本項目擬研究解決三維空間多面體銳角三角剖分中的四個問題：阿基米德多面體表面的測地線銳角（非鈍角）三角剖分的構形、剖分數的下界及最最佳化算法；一般多面體表面的測地線銳角三角剖分數的上界、算法及面獨立銳角三角剖分的存在性；阿基米德多面體剖分為銳角四面體的存在性及可能構形；一般多面體剖分為銳角四面體的存在性。這些問題都是當前國際離散與組合幾何研究領域中的前沿、熱點和難點問題。研究工作將從討論特殊多面體到一般多面體，從研究多面體表面到多面體整體，構建兩個維度交叉的、立體的研究方案，研究結果不僅對推進三維空間銳角三角剖分理論的發展具有重要意義，而且對計算機科學的基礎理論和技術發展也將產生積極的影響。

結題摘要

三角剖分理論是離散與組合幾何學的重要組成部分，其在計算機圖形學、算法設計、模式識別和三維建築造型設計等很多領域都有著十分廣泛的套用。本項目圍繞三角剖分問題開展研究，取得了重要進展，獲得了系列成果，代表性的成果包括：（1）確定了全部13類阿基米德多面體表面的銳角（非鈍角）三角剖分數，其中8類得到了最優結果。在此之前，國際同行僅對五類正多面體表面的銳角（非鈍角）三角剖分數給出了確定結果；（2）研究了多面體表面的平衡銳角三角剖分數，並解決了關於正十二面體表面銳角三角剖分數的一個未解決問題；（3）確定了滿足一定曲率條件的雙緊凸集表面的銳角三角剖分數，並在國際上率先對旋轉體表面的銳角三角剖分問題展開了研究，首次給出了圓錐、圓柱等旋轉體表面的銳角（非鈍角）剖分數以及由正多邊形繞其對稱軸旋轉所得旋轉體表面的銳角三角剖分數。在此之前，國際上關於非多面體的凸體表面的銳角三角剖分研究中僅對於球面獲得了具體的結果。 同時，本項目組在研究中主要增加了下述新的研究內容：(1) 關於F-凸性的研究。F-凸性理論是離散與組合幾何中的一個新的研究領域，目前在國際上的研究處於起步階段。項目組和羅馬尼亞科學院院士Tudor Zamfirescu院士合作研究了直角三角形頂點集形成的集族導出的rt-凸性（Right Triple Convexity）問題和等腰三角形頂點集形成的集族導出的it-凸性 (Isoseles Triple Convexity)問題，獲得了一系列成果，為國際同行開展凸性理論的相關研究提供了方法上的借鑑。(2) 阿基米德鋪砌頂點性質的相關研究。首次運用數的幾何的理論和方法對阿基米德雙鋪砌和三鋪砌以及一類非阿基米德鋪砌的頂點性質進行了刻畫，確定了關於鋪砌頂點的Minkowski-型定理、Blichfeldt-型定理，並首次將Pick型定理成功推廣至一類阿基米德雙鋪砌。 項目執行期內本項目組在Discrete & Computational Geometry, Discrete Mathematics、Discrete Applied Mathematics等知名期刊發表論文21篇，其中SCI收錄12篇，EI收錄3篇，此外還有9項研究成果已經投稿。項目執行期內本項目組共培養博士研究生２名，碩士研究生28名，其中11名碩士研究生已經畢業並獲得理學碩士學位。