等周不等式又稱等周定理,說明在周界長度相等的封閉幾何形狀之中,以圓形的面積最大；另一個說法是面積相等的幾何形狀之中,以圓形的周界長度最小。赫爾維茨提出可以將封閉曲線的周界長和曲線所包圍的區域面積之間的關係用不等式表達出來,這個不等式被稱為等周不等式。
基本介紹
- 中文名：等周不等式
- 外文名：Isoperimetric inequality
- 提出者：赫爾維茨
- 學科：數學
- 套用領域：數學、物理
簡介,定義,證明,發展歷程,
簡介
等周不等式,是一個幾何中的不等式定理,說明了歐幾里得平面上的封閉圖形的周長以及其面積之間的關係。其中的“等周”指的是周界的長度相等。等周定理說明在周界長度相等的封閉幾何空間中,以圓形的面積最大；另一個說法是面積相等的幾何形狀之中,以圓形的周界長度最小。
雖然等周定理的結論早已為人所知,但要嚴格的證明這一點並不容易。首個嚴謹的數學證明直到19世紀才出現。之後,數學家們陸續給出了不同的證明,其中有不少是非常簡單的。等周不等式有許多不同的推廣,例如在各種曲面而不是平面上的等周問題,以及在高維的空間中給定的“表面”或區域的最大“邊界長度”問題等。
在物理中,等周不等式問題和跟所謂的最小作用量原理有關。一個直觀的表現就是水珠的形狀。在沒有外力的情況下（例如失重的太空艙里）,水珠的形狀是完全對稱的球體。這是因為當水珠體積一定時,表面張力會迫使水珠的表面積達到最小值。根據等周不等式,最小值是在水珠形狀為球狀時達到。
定義
證明
以下給出一個較初等的證明,分5步。
1、是一個凸區域。
假使不然,是一個凹區域。那么根據定義,可以在內找到兩個點M和N,使其連線MN有一部分M'N'不包含於A的內部。然而如以M'N'替換掉原來的那段弧,則周長將減少,面積將增加,從而將新圖形擴大若干倍後得到一個同樣周長,面積比大的區域。矛盾。
2、凡平分周長的弦必平分面積A。
如果一弦MN平分而將分為大小不同的兩部分
,那么去掉
而將
對MN做對稱,則可得到一個周長仍然等於而面積等於
的區域,矛盾。
3、凡平分A的弦,無論方向,長度相等。
如果不然,不妨設兩弦MN和M'N'均平分面積A而MN>M'N'。那么分別選取MN及其任一側的曲線（半個,不妨記為P1}）,以及M'N'及其任一側的區域（另行劃分的半個,記為 P1
）,並粘合在一起使得M'N'落在MN上,M與M'重合。
此時,新的圖形仍然滿足周長為,面積為的性質,且由於,
應落於MN之間。
以M為中心,分別對P1和P'1做
和
倍的放縮,使兩曲線的終端吻合（即N和N'經過變換之後重合,記為 N''）,得到兩個分別與原區域相似的區域Q1和Q'1。適當調整 和 的值,使曲線
的周長仍為。
此時Q1和Q'1的長度分別等於
和
,所圍的面積分別等於
和
；並且由於MN和MN'經過放縮後重合,有
。
由於曲線 的周長仍為P,故
,從而
；而由 ,
。所以
。
所以 的面積為
,與A最大矛盾。
4、若
平分,O為MN中點,那么對上任意一點R,都有
。
以O為中心,做MRN的中心對稱圖形,
對稱到R'；那么圖形MR'NRM的周長為,面積為。由第3步知MN和RR'的長度應該相等,而O也是RR'的中點,故得結論。
5、由於O到上任意一點的距離都相等,所以是圓。
發展歷程
平面上的等周問題是等周問題最經典的形式,它的出現可以追溯到很早以前。這個問題可以被表述為：在平面上所有周長一定的封閉曲線中,是否有一個圍成的面積最大？如果有的話,是什麼形狀？另一種等價的表述是：當平面上的封閉曲線圍成的面積一定時,怎樣的曲線周長最小？
