最小作用量原理

物理學中 最小作用量原理（英語：least action principle），或更精確地，平穩作用量原理（英語：stationary action principle），是一種變分原理，當套用於一個機械系統的作用量時，可以得到此機械系統的運動方程。這原理的研究引導出經典力學的拉格朗日表述和哈密頓表述的發展。卡爾·雅可比特稱最小作用量原理為分析力學之母。

基本介紹

• 中文名：最小作用量原理
• 外文名：least action principle
• 屬性：描述客觀事物規律的一種方法
• 學科：物理學
• 別稱：平穩作用量原理
• 領域：物理學

簡介

物理學中最小作用量原理（英語：least action principle），或更精確地，平穩作用量原理（英語：stationary action principle），是一種變分原理，當套用於一個機械系統的作用量時，可以得到此機械系統的運動方程。這原理的研究引導出經典力學的拉格朗日表述和哈密頓表述的發展。卡爾·雅可比特稱最小作用量原理為分析力學之母。

在現代物理學裡，這原理非常重要，在相對論、量子力學、量子場論里，都有廣泛的用途。在現代數學裡，這原理是莫爾斯理論的研究焦點。本篇文章主要是在闡述最小作用量原理的歷史發展。關於數學描述、推導和實用方法，請參閱條目作用量。最小作用量原理有很多種例子，主要的例子是莫佩爾蒂原理（Maupertuis' principle）和哈密頓原理。

在最小作用量原理之前，有很多類似的點子出現於測量學和光學。古埃及的拉繩測量者（rope stretcher）在測量兩點之間的距離時，會將固定於這兩點的繩索拉緊，這樣，可以使間隔距離減少至最低值。托勒密在他的著作《地理學指南》（Geographia）第一冊第二章里強調，測量者必須對於直線路線的誤差做出適當的修正。古希臘數學家歐幾里得在《反射光學》（Catoptrica）里表明，將光線照射於鏡子，則光線的反射路徑的入射角等於反射角。稍後，亞歷山大的希羅證明這路徑的長度是最短的。

費馬的表述

1662年，皮埃爾·德·費馬提出費馬原理，又稱為“最短時間原理”：光線移動的路徑是需時最少的路徑。

費馬原理更正確的版本應是“平穩時間原理”。對於某些狀況，光線移動的路徑所需的時間可能不是最小值，而是最大值，或甚至是拐值。例如，對於平面鏡，任意兩點的反射路徑光程是最小值；對於半橢圓形鏡子，其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的，光程都一樣，是最大值，也是最小值；對於半圓形鏡子，其兩個端點Q、P的反射路徑光程是最大值；又如最右圖所示，對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子，同樣這兩個點Q、P的反射路徑的光程是拐值。

假設，介質1、介質2的折射率分別為 ，光線從介質1在點O移動進入介質2，則斯涅爾定律以方程表達為

其中， 為入射角， 為折射角。

從費馬原理，可以推導出斯涅爾定律。通過設定光程對於時間的導數為零，可以找到“平穩路徑”，這就是光線移動的路徑。光線在介質1與介質2的速度分別為

其中，c是真空光速。由於介質會減緩光線的速度，折射率 和 都大於1。

如右圖所示，從點Q到點P的移動時間T為

圖1.光線折射

根據費馬原理，光線移動的路徑是所需時間為極值的路徑，取移動時間T對變數x的導數，設定其為零：

由圖中的邊角關係，可以得到移動速度與折射角的關係式：

將移動速度與折射率的關係式代入，就會得到斯涅爾定律：

費馬原理引發了極大的爭議。假若介質的密度越小，光線的移動速度越快，則費馬原理是正確的；但是，艾薩克·牛頓和勒內·笛卡兒都認為介質的密度越大，光線的移動速度就越快。1802年，托馬斯·楊做實驗發現，當光波從較低密度介質移動進入較高密度介質之後，光波的波長會變短，他因此推論光波的運動速度會降低。

莫佩爾蒂的表述

最小作用量原理套用於作用量的最初始表述，時常歸功於皮埃爾·莫佩爾蒂。於1744年和1746年，他寫出一些關於這方面的論文。但是，史學專家指出，這優先聲明並不明確。萊昂哈德·歐拉在他的1744年論文裡就已談到這原理。還有一些考據顯示出，在1705年，戈特弗里德·萊布尼茨就已經發現這原理了。

莫佩爾蒂發表的最小作用量原理闡明，對於所有的自然現象，作用量趨向於最小值。他定義一個運動中的物體的作用量為A，物體質量m、移動速度v與移動距離s的乘積：A=mvs。

莫佩爾蒂又從宇宙論的觀點來論述，最小作用量好像是一種經濟原理。在經濟學里，大概就是精省資源的意思。這論述的瑕疵是，並沒有任何理由，能夠解釋，為什麼作用量趨向最小值，而不是最大值。假若，我們解釋最小作用量為大自然的精省資源，那么，我們又怎樣解釋最大作用量呢？

折射理論

於1744年，在巴黎科學院發表的一篇論文《幾種以前互不相容的自然定律的合一論》（Accord de plusieurs lois naturelles qui avaient paru jusqu'ici incompatibles）中，莫佩爾蒂提出，光折射的路徑，從一種介質到另一種介質，是作用量的最小值。按照這論點，如前圖，假設光線從折射率為的介質1折射於折射率為介質2，則作用量為

其中，m是光線的質量。雖然光線並沒有質量，這變數對於結果沒有任何影響，可以被忽略。

取作用量對於變數x的導數，設定為零，經過一些運算，可以得到

請注意，這結果與牛頓的光粒子理論相符合；但是，與費馬得到的結果南轅北轍，大不相同。

非彈性碰撞

1747年，莫佩爾蒂在伯林科學院（Academy of Berlin）發表了論文《運動與靜止定律》（Loix du mouvement et du repos）。在這篇論文裡，他將碰撞分為兩種，彈性碰撞與非彈性碰撞。彈性碰撞遵守動量守恆和能量守恆；非彈性碰撞只遵守動量守恆。莫佩爾蒂可以將最小作用量原理套用於彈性碰撞與非彈性碰撞，正確地計算出碰撞後的物體的速度。

思考一個一維非彈性碰撞，假設兩個質量分別為的物體O₁和物體O₂，分別以初始速度朝著同一方向移動，而且，，物體O₁緊追著物體O₂。當兩物體發生非彈性碰撞後，結合成為物體O₃，以終結速度移動。從固定於物體O₃的參考系觀察，物體O₁和物體O₂的速度分別為。所以，作用量為

其中，t是時間。

取作用量對於變數的導數，設定為零，經過一些運算，可以得到

所以，最終速度為

請注意，按照這種設定參考系的方法，前面折射問題的光折射作用量應該是

還有，前面光折射作用量的距離參數是任意值，但是，非彈性碰撞作用量的碰撞前距離參數與碰撞後距離參數被設定為相等。

由於這些不一致之處，促使恩斯特·馬赫嚴厲批評，莫佩爾蒂的最小作用量原理只是一個模糊不清的概念，勉強地被用來解釋各種不同的物理現象。

歐拉的表述

1744年，萊昂哈德·歐拉在論文《尋找具有極大值或極小值性質的曲線，等周問題的最廣義解答》（Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici lattissimo sensu accepti）里，以非常清楚的字句，給出最小作用量原理的定義：

設定一個質量為M，速度為v的粒子移動無窮小距離 ds。這粒子的動量為Mv，當乘以無窮小距離時，會給出ds，粒子的動量積分於無窮小距離ds。現在，我宣明，這移動粒子的真實軌道（在所有連結兩個端點的可能軌道之中）是為最小值的軌道，或者，假定質量是個常數，是為最小值的軌道。

如同歐拉所寫，是動量積分於移動路徑。採用現代術語，這積分等於簡略作用量；其中，p是廣義動量，q是廣義坐標。因此，在同一年，稍微比莫佩爾蒂晚一點，歐拉獨立地發表了，與莫佩爾蒂的理論等同的，關於變分原理的理論。歐拉並沒有爭奪優先榮譽。

直線運動

假設沒有任何作用力施加於這粒子，則這粒子以均勻速度移動：

只有在軌道長度s為最小值時，才能得到作用量最小值。這軌道是一條直線。

拋物線運動

假設這移動於二維空間的粒子感受到均勻重力，則根據活力定律（principle of vis viva），

其中，v是瞬時速度，v₀是最初速度，y是粒子朝著y-軸移動的距離， g是加速度常數。

將這方程代入作用量：

令A=0，求作用量的穩定值，套用變分法，可以得到歐拉-拉格朗日方程：

其中，k₁是積分常數。重新編排，可以得到

將這方程積分，

其中，k₂是積分常數。

假設粒子的初始位置為(0,0)，初始速度為，則

重新編排，可以看出這是拋物線方程：

歐拉又將這結果推廣至一群粒子。他認為最小作用原理所以正確，是因為粒子的慣性試著阻抗任何關於狀態的改變，自由粒子會選擇遵循影響最小的作用力。

表觀目的論

微分運動方程數學等價於其對應的積分運動方程，這具有很重要的哲學意義。微分方程描述局部於空間的一點或單獨時間的片刻。舉例而言，牛頓第二定律解釋為瞬時作用力F施加於質量為m的粒子會造成瞬時加速度為a的運動。明顯對比地，作用量原理不會局部於一點，而牽涉到積分於一段時間間隔或一個空間的局域。更重要地，通常在經典作用量原理的表述里，系統的初始狀態和終結狀態是固定不變的，也就是說，

設定一個移動粒子開始於位置x₁、時間t₁，結束於位置x₂、時間t₂，連線這兩個端點的物理軌道是作用量積分的平穩值。

特別地針對這程式，終結狀態的固定動作似乎額外地賦予了作用量原理一些目的論的特色。在物理學史里，這特色不經意地製造出很多激烈的爭論。

套用

相對論運用時空事件的四維世界把最小作用量原理解釋為能夠從可能的世界線中挑選出實際的世界線的原理。在這種情況下相對論並沒有給最小作用原理添加進新的物理內容。這種物理內容可以為量子物理所引入。只有作出某種把相對論和微觀世界聯繫在一起的解釋的情況下，根據更為一般的構想，相對論或許有“推出”最小作用原理的可能。在建立廣義相對論時愛因斯坦用過最小作用原理。此時作用量的概念得到某些新的解釋。如所周知，在決定空間和時間的曲率時藉助於四個恆等式，並且力求排除表征空間時間特性但不表征曲率的多餘的參量。這些恆等式按其物理意義而言表示不同坐標系中空間和時間曲率的同一性，曲率張量取決於能量衝量張量。在研究此問題時，愛因斯坦指出，上述四個恆等式有物理意義，也就是具有守恆定律的意義，並且表示了空間時間的特性。然而，現在當我們談能量衝量張量時，空間的首要特性，即其均勻性對應於衝量分量守恆；而時間的均勻性對應於能量守恆。這樣，守恆定律就對應於曲率張量之間恆等的數量關係，作為與這種或那種坐標表示無關的物理特性的曲率對應於作用量。愛丁頓提出在廣義相對論中對作用量這一概念意義的極為精細、深刻的說法。他指出：對時空連續統而言，作用量扮演著類似於能量在空間關係上所扮演的角色。在四維世界裡，作用量是曲率的量度，即決定質點運動的四維連續統的基本特性的量度。我們順便指出：在敘述魏爾的統一場論時愛丁頓曾順帶提到對作用量的一種很有益的解釋。愛丁頓說，可能作用量就是機率的函式，然而當把一些機率連乘，則作用量就相加，從而作用量可以認為是機率的對數。由於機率的對數是負數，所以作用量就要看成是機率的對數再加上負號，此時最小作用原理則表示實際實現的運動的最大機率。

圖2.愛丁頓舊引力論

在現代量子力學中最小作用量原理起著重要作用。不但如此，對於作用量概念的思考也激起對現存理論進行總結的嘗試。表征微觀世界之基本量，即作用量子和引入到巨觀力學的基本數量關係中的量，即由能量按時間積分，這兩個量的量綱一致，促使近代理論家在一系列構想上儘管沒有引出什麼具體的物理理論，但是卻引出一些看來是很有前途的物理理論。