哈密頓-雅可比-愛因斯坦方程

在廣義相對論中，哈密頓-雅可比-愛因斯坦方程（英語：Hamilton–Jacobi–Einstein equation，簡稱HJEE）是一道哈密頓形式、描述超空間中的幾何力學的方程。創於“幾何力學年代”，這方程由亞瑟·佩雷斯（Asher Peres）在1960給出，目的是更正廣義相對論以令其成為量子理論的半古典近似，就像量子力學與古典力學一樣對應關係。

基本介紹

• 中文名：哈密頓-雅可比-愛因斯坦方程
• 外文名：Hamilton–Jacobi–Einstein equation
• 提出者：亞瑟·佩雷斯
• 簡稱：HJEE
• 提出時間：1960年

簡介

這方程包含了全部10道愛因斯坦場方程式（EFEs），亦是古典力學中哈密頓-雅可比方程式（HJE）的修正，並可以從ADM形式中的愛因斯坦-希爾伯特作用量，以最小作用量原理推導。

背景及動機

古典與量子物理的對應關係

古典分析力學中的一個系統的動力學是由作用量S所概括。而各量子理論，即非相對論量子力學、相論對量子力學及量子場論，各有不同的詮釋及數學形式，但一個系統的行為都是完全由一個復機率幅Ψ（正式來說是量子態的ket|Ψ⟩－希爾伯特空間中的元素)。Eikonal的半古典近似給出

當中Ψ的相位可被詮釋為作用量，而模值√ρ=√Ψ*Ψ= |Ψ|則可被根據哥本哈根詮釋為機率密度函式。約化普朗克常數ħ是“作用量的量子”。代入一般形式的薛丁格方程式（SE），則有

取ħ→ 0極限則得到古典的HJE：

這是對應原理其中一個結果。

哈密頓力學

哈密頓力學是哈密頓於1833年建立的經典力學的重新表述，它由拉格朗日力學演變而來。拉格朗日力學是經典力學的另一表述，由拉格朗日於1788年建立。哈密頓力學與拉格朗日力學不同的是前者可以使用辛空間而不依賴於拉格朗日力學表述。關於這點請參看其數學表述。

適合用哈密頓力學表述的動力系統稱為哈密頓系統。

愛因斯坦場方程

愛因斯坦重力場方程是一組含有十個方程的方程組，由愛因斯坦於1915年在廣義相對論中提出。此方程組描述了重力是由物質與能量所產生的時空彎曲所造成。也就是說，如同牛頓的萬有引力理論中質量作為重力的來源，亦即有質量就可以產生重力，愛氏的相對論理論更進一步的指出，動量與能量皆可做為重力的來源，並且將“重力場”詮釋成“時空彎曲”。所以當我們知道物質與能量在時空中是如何分布的，就可以計算出時空的曲率，而時空彎曲的結果即是重力。

愛因斯坦重力場方程是用來計算動量與能量所造成的時空曲率，再搭配測地線方程，就可以求出物體在重力場中的運動軌跡。這個想法與電磁學的想法是類似的：當我們知道了空間中的電荷與電流(電磁場的來源)是如何分布的，藉由麥克斯韋方程組，我們可以計算出電場與磁場，再藉由勞倫茲力方程，即可求出帶電粒子在電磁場中的軌跡。

僅在一些簡化的假設下，例如：假設時空是球對稱，此方程組才具有精確解。這些精確解常常被用來模擬許多宇宙中的重力現象，像是黑洞、膨脹宇宙、引力波。