整平坦流

整平坦流是滿足某種條件的可求積流。利用邊緣運算元可以建立整平坦流的同調理論。

基本介紹

• 中文名：整平坦流
• 外文名：integral flat flow
• 適用範圍：數理科學

簡述

整平坦流是滿足某種條件的可求積流。如果流S可以表示為R+∂T，其中R，T均為可求積流，則稱S為整平坦流。

同調理論

利用邊緣運算元可以建立整平坦流的同調理論，這種同調理論與局部李普希茨範疇內的整係數的經典奇異同調論同構。但是對於積分問題、相交理論等，這種鏈群明顯地優於奇異鏈群。因為與奇異鏈不同，一條平坦鏈與其分割等同，這就簡化了閉鏈的構造，並得到較好的實係數上閉鏈。不僅如此，由此還發現所謂等周不等式不僅對於微分幾何中的某些特殊情形成立，而且對這種同調論有類似的估計，這就使得代數拓撲與測度論聯繫起來了。

套用

可以用流的理論來研究普拉托問題。存在性定理表明，極小曲面總是一個m維局部可求積流，即這樣的流S∈𝓓_m(U)，對每個x∈U，總存在緊支集在U內的可求積流R，使x∉supp(S-R)。曲面的光滑性問題就是suppS的光滑性問題。

於a∈supp S，若存在鄰域V⊂Rⁿ，使V∩supp S為C²類m維子流形，則稱a為正則點，否則稱a為奇點。由於幾何測度論的發展，使高維普拉托問題取得重大進展，因此，已知當m≤6時極小曲面是光滑的，當m≥7時，極小曲面的奇點集的H維數不超過m-7。

類似於局部可求積流，可以定義局部整流、局部整平坦流。後者與流形上分析中的實解析子簇與復解析子簇有著十分密切的關係。