第一型曲線積分

定義在平面曲線或空間曲線上的函式關於該曲線的積分。第一型曲線積分物理意義來源於對給定密度函式的空間曲線，計算該曲線的質量。

基本介紹

• 中文名：第一型曲線積分
• 所屬學科：數學 

定義

設 為平面上可求長度的曲線段， 為定義在 上的函式．對曲線 作分割 ，它把分成 個可求長度的小曲線段 ， 的弧長記為 ，分割 的細度為 ，在 上任取一點 , 若存在極限

且它的值與分割及點的取法無關，則稱此極限 為 在 上的第一型曲線積分，記為

或者簡寫成。

設 為空間上可求長度的曲線段， 為定義在 上的函式．對曲線 作分割 ，它把分成 個可求長度的小曲線段 ， 的弧長記為 ，分割 的細度為 ，在 上任取一點 , 若存在極限

且它的值與分割及點的取法無關，則稱此極限 為 在 上的第一型曲線積分，記為

對於一般維空間中曲線，可同樣給出定義。

物理意義

當 是平面上某一可求長度的曲線， 是其密度函式，當計算物體的質量問題時便須要第一型曲線積分．首先對 作分割,把分成n個可求長度的小曲線段 (i=1，2，…，n)，並在每一個上任取一點 ，由於密度函式為連續函式,故當的弧長都很小時，每一小段的質量可近似地等於 ,其中 為小曲線段的長度.於是在整個上的質量就近似地等於和式

當對的分割越來越細密時,上述和式的極限就應是該物體的質量．

性質

第一型曲線積分具有下述一些重要性質:

1)．若存在，為常數，則也存在，且

2)．若曲線段由曲線首尾相接而成，且都存在，則也存在，且

3)．若與都存在，且在上, 則

4)．若存在，則也存在，且

第一型曲線積分的計算

設有光滑曲線，函式為定義在上的連續函式，則

套用

下面給出二個常用的套用。

1) 空間曲線的重心坐標為

2)曲線繞z軸(x, y軸)的轉動慣量是