《數學分析（二）：多元微積分》是南京大學提供的慕課課程，授課老師是梅加強。
基本介紹
- 中文名：數學分析（二）：多元微積分
- 類別：慕課
- 提供院校：南京大學
- 授課教師：梅加強
課程簡介,課程大綱,參考資料,
課程簡介
數學分析是以微積分為核心，介紹分析學基本思想的基礎課程，《數學分析（二）：多元微積分》主要講授多元函式的微分學、積分學以及各種積分之間的聯繫等。
主要內容分為六章，第一章介紹歐氏空間的各種結構以及連續映射的整體性質與這些結構之間的關係；第二章介紹多元函式的微分學，主要的定理包括反函式/隱函式定理以及求多元函式極值的拉格朗日乘子法；第三章介紹多元函式的積分學，主要的定理包括重積分的變數替換公式以及重積分的計算方法；第四章介紹歐氏空間中沿曲線和曲面的積分以及這些積分之間的聯繫；第五章介紹含參變數的積分，主要討論積分號下求導和交換積分次序的問題；第六章介紹場論和微分形式，證明了散度定理、不動點定理等。
課程大綱
01 引言
1.1 歐氏空間及其代數結構
1.2 歐氏空間的幾何結構
1.3 歐氏空間的拓撲結構
1.4 連續映射的整體性質
1.5 歐氏空間的完備性
02 多元函式的微分
2.1 方嚮導數和微分
2.2 切線和切面
2.3 鏈式法則
2.4 擬微分中值定理
2.5 反函式定理
2.6 隱函式定理
2.7 多元函式的極值
2.8 Lagrange 乘數法
03 多元函式的積分
3.1 二重 Riemann 積分
3.2 零測集與可求面積集
3.3 多重 Riemann 積分
3.4 重積分化累次積分
3.5 重積分的變數替換
3.5.1 仿射變換
3.5.2 變數替換公式
3.6 重積分的推廣
04 曲線積分與曲面積分
4.1 第一型曲線積分
4.2 第二型曲線積分
4.3 第一型曲面積分
4.4 第二型曲面積分
4.5 Green 公式
4.6 Gauss 公式
4.7 Stokes 公式
05 含參變數的積分
5.1 含參變數的積分
5.2 含參變數的廣義積分
5.2.1 含參變數的廣義積分
5.2.2 一致收斂積分的性質
5.2.3 廣義積分的次序
5.3 Euler 積分
5.4 Gamma 函式的性質
06 拾遺
6.1 梯度場與全微分
6.2 歐氏空間中的微分形式
6.3 曲面上的積分
6.4 外微分運算
6.5 單位分解
6.6 Gauss-Green 公式
6.7 散度定理
6.8 Brouwer 不動點定理
參考資料
1、《數學分析》，梅加強，高等教育出版社，2011
2、《微積分學教程》，菲赫金哥爾茨，高等教育出版社，2006
