稜錐

在幾何學上，稜錐又稱角錐，是三維多面體的一種，由多邊形各個頂點向它所在的平面外一點依次連直線段而構成。多邊形稱為稜錐的底面。隨著底面形狀不同，稜錐的稱呼也不相同，依底面多邊形而定，例如底面是正方形的稜錐稱為方錐，底面為三角形的稜錐稱為三稜錐，底面為五邊形的稜錐稱為五稜錐等等。

基本介紹

• 中文名：稜錐
• 外文名：pyramid
• 相關概念：底面，側面，側棱，頂點等
• 特徵：有一個面是多邊形
• 別稱：角錐
• 套用學科：幾何學

歷史

在公元前1650年左右的萊因德數學紙草書中，稜錐已經作為數學對象被幾何學家研究。紙草書的56至59題是有關正方錐的底邊、高以及底面和側面形成的二面角之間關係的計算，如已知高和底邊長度，求二面角等。傳說由歐幾里德在公元前三世紀寫成的《幾何原本》中，第十二章第七個命題證明了：三角柱的體積等於同底同高的三角錐的三倍，但《幾何原本》中沒有給出直接的稜錐體積公式。公元一世紀左右成書的《九章算術》第五章中的第十二題，計算了正方錐、直方錐（陽馬）、直三角錐（鱉臑）的體積，並給出了通用公式。公元三世紀中葉，數學家劉徽在給《九章算術》作的注中，運用極限思想證明了稜錐的體積公式。

概念

稜錐的底面: 稜錐中的多邊形叫做稜錐的底面。

稜錐的側面: 稜錐中除底面以外的各個面都叫做稜錐的側面。。

稜錐的側棱: 相鄰側面的公共邊叫做稜錐的側棱。

稜錐的頂點; 稜錐中各個側面的公共頂點叫做稜錐的頂點。

稜錐的高: 稜錐的頂點到底面的距離叫做稜錐的高。

稜錐的對角面; 稜錐中過不相鄰的兩條側棱的截面叫做對角面。

特徵

稜錐是多面體中重要的一種，它有兩個本質特徵：

①有一個面是多邊形；

②其餘的各面是有一個公共頂點的三角形，二者缺一不可。

因此稜錐有一個面是多邊形，其餘各面都是三角形。但是也要注意“有一個面是多邊形，其餘各面都是三角形”的幾何體未必是稜錐。

分類

稜錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……我們把這樣的稜錐分別叫做三稜錐、四稜錐、五稜錐……

正稜錐

如果一個稜錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的稜錐叫做正稜錐。

正稜錐的各側棱都相等，各側面都是全等的等腰三角形。

正稜錐的斜高：正稜錐側面等腰三角形底邊上的高，叫做正稜錐的斜高。

性質

1．稜錐截面性質定理及推論

定理：如果稜錐被平行於底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等於頂點到截面距離與稜錐高的平方比。

推論1：如果稜錐被平行於底面的平面所截，則稜錐的側棱和高被截面分成的線段比相等。

推論2：如果稜錐被平行於底面的平面所截，則截得的小稜錐與原稜錐的側面積之比也等於它們對應高的平方比，或它們的底面積之比。

2．一些特殊稜錐的性質

側棱長都相等的稜錐，它的頂點在底面內的射影是底面多邊形的外接圓的圓心（外心），同時側棱與底面所成的角都相等。

側面與底面的交角都相等的稜錐，它的二面角都是銳二面角，所以頂點在底面內的射影在底多邊形的內部，並且它到各邊的距離相等即為底多邊形的內切圓的圓心（內心），且各側面上的斜高相等。如果側面與底面所成角為α，則有S底=S側cosα。如圖畫出了射影是外心和內心的情況。

3．稜錐的側面積及全面積、體積公式、底面積公式

稜錐的側面積及全面積

稜錐的側面展開圖是由各個側面組成的，展開圖的面積，就是稜錐的側面積，則

S稜錐側=S1+S2+…+Sn（其中Si，i=1，2…n為第i個側面的面積）

S全=S稜錐側+S底

稜錐的底面積公式:S底=長×寬

稜錐和圓錐統稱錐體，錐體的體積公式是： v=1/3sh（s為錐體的底面積，h為錐體的高）。

斜稜錐的側面積=各側的面積之和

正稜錐的側面積：S正稜錐側=1/2chˊ（c為底面周長，hˊ為斜高）。

稜錐的中截面面積：S中截面=1/4S底面

4．正稜錐有下面一些性質

正稜錐各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正稜錐的斜高）；

正稜錐的高、斜高和斜高在底面內的射影組成一個直角三角形，正稜錐的高、側棱、側棱在底面內的射影也組成一個直角三角形。

正稜錐的側棱與底面所成的角都相等；正稜錐的側面與底面所成的二面角都相等。

正稜錐的側面積：如果正稜錐的底面周長為c，斜高為h’，那么它的側面積是 s=1/2ch

直觀畫法

正稜錐的直觀圖由底面和頂點所決定。正稜錐底面的畫法與直稜柱底面的畫法相同。頂點和底面中心的距離等於它的高。下面以正五稜錐為例，說明正稜錐的直觀圖的畫法。

畫一個底面邊長為5 cm，高為11.5 cm的正五稜錐的直觀圖，比例尺是 。

畫法：

（1）畫軸。畫x′軸、y′軸、z′軸，記坐標原點為O′，使∠x′O′y′=45°（或135°），∠x′O′z′=90°。如圖（1）

（2）畫底面。按x′軸、y′軸畫正五邊形的直觀圖ABCDE，按比例尺取邊長等於5÷5=1（cm），並使正五邊形的中心對應於點O′。

（3）畫高線。在z′軸取O′S=11.5÷5=2.3（cm）。

（4）成圖。連結SA、SB、SC、SD、SE，並加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），就得到所畫的正五稜錐的直觀圖。

正稜台

定義

稜錐的底面和平行於底面的一個截面間的部分，叫做稜台。由三稜錐，四稜錐，五稜錐……截得的稜台，分別叫做三稜台，四稜台，五稜台……

由正稜錐截得的稜台叫做正稜台。

三稜台

性質

正稜台的性質：

（1）正稜台的側棱相等，側面是全等的等腰梯形。各等腰梯形的高相等，它叫做正稜台的斜高；（2）正稜台的兩底面以及平行於底面的截面是相似正多邊形；

四稜台

（3）正稜台的兩底面中心連線、相應的邊心距和斜高組成一個直角梯形；兩底面中心連線、側棱和兩底面相應的半徑也組成一個直角梯形。

相關名稱

兩個平行的面分別叫做上底面和下底面，其餘的面叫做側面，側面相交的線段叫做側棱，3條側棱相交的點叫做頂點。

正稜台各側面的高叫做稜台的斜高。

三稜台2

體積公式

稜台的體積公式:V=[S+S'+(SS')^1/2]h/3

截面

任意平面截稜錐所得截面均為多邊型形，不為圓面。