相似是矩陣間的一種重要關係，在相似變換下矩陣的特徵值保持不變，相似矩陣在矩陣對角化及簡化矩陣計算方面有廣泛的套用。
基本介紹
- 中文名：矩陣相似
- 外文名：matrix similar
- 套用學科：線性代數
定義,性質,矩陣相似充分必要條件,套用,
定義
設A，B為數域P上兩個n階矩陣，如果可以找到數域P上的n階可逆矩陣X，使得
，則稱A相似於B，記作A~B。
性質
(1) 若A相似於B，則A等價於B（即A可通過初等變換化為B）
(2) 若A相似於B，則tr(A)=tr(B)
(3) 若A相似於B，則|A|=|B|
以上三條反之皆不成立
證明:若A~B，則存在可逆矩陣X使得
令
，
則
，即A與B等價，(1)成立
因 ，於是有
反例：
，
顯然A與B等價，並且tr(A)=tr(B)，|A|=|B|，但A與B不可能相似(因A=E，對任意的n階可逆矩陣X，都有
)。
相似是矩陣間的一種重要關係，這種關係具有以下三個性質：
1.反身性：
。這是因為
（其中
為單位矩陣，下同）。2.對稱性：如果
，那么
。事實上如果 ，那么有X使 ，令
，就有
，所以 。3.傳遞性：如果 ，
，那么
。因為若，，即存在X，Y使 ，
。令
，就有
，因此有 。(具有以上三個性質的關係統稱為等價關係)
矩陣相似充分必要條件
設A，B是數域P上兩個
矩陣：
(2) A與B相似的充分必要條件是它們有相同的不變因子。
(3) 兩個同級複數矩陣相似的充分必要條件是它們有相同的初等因子。
套用
例：已知A~B，其中
，
。
(1)求a,b的值；(2)求可逆矩陣X使
；(3)求
。
解：(1)因tr(A)=tr(B)及|A|=|B|可得a=5,b=3
(2)顯然A的特徵值為2，1，5，即B的特徵值也為2，1，5
由
可得對應特徵向量
，
，
令
，則有 。
(3)
。
