相對投射模

相對投射模(relatively projective module)是比投射模性質稍弱的一類模，山度米爾斯基(Sandomierski)於1964年將投射模和內射模推廣到相對投射模和相對內射模。

基本介紹

• 中文名：相對投射模
• 外文名：relatively projective module
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：模論
• 相關人物：山度米爾斯基(Sandomierski)
• 相關概念：投射模，擬投射模等

基本介紹

設R是一個交換環，G是一個有限群，H是G的子群，V是一個有限生成的RG模，若對於每個RG模的正合列

只要是分裂的RH模正合列，則(*)也分裂，稱V是RH相對投射的，或簡稱V為H投射的。希格曼(G.Higman)於1954年證明了下面的定理：若V是有限生成RG模，H≤G，則下列條件等價：

1. V是H投射的。

2. V是的直和項。

3. 存在一個有限生成的RH模W，使V是的直和項。

4. 是H投射的RG模。

5. 存在使

其中g遍取H在G內的陪集代表系，1是V上的恆等變換。

相關概念

內射模

內射模(injective module)是投射模的對偶概念，設Q是左A模，若函子正合，則稱模Q為內射模；這等價於：對每個單同態，及每個同態，一定有同態，使得成立，對任意模M，一定存在內射模E，使得M是E的子模。若E是左A內射模，且E是左A模M的子模，則E是M的直和因子。若A是環，則存在充分多的左A內射模，例如，若Q是可除阿貝爾群，則是A內射模。貝爾準則是一個很有用的判別定理：對A的每個左理想I和每個A同態，若h都可開拓成，即，則Q是內射模；反之亦然。內射模這一概念是由貝爾(R.Baer)於1940年提出的；詹森(R.E.Johnson)和黃德華於1961年將投射模、內射模這些概念推廣到擬投射模和擬內射模；山度米爾斯基(Sandomierski)於1964年推廣到相對投射模和相對內射模。

投射模

投射模(projective module)是比自由模更一般的模，它是內射模的對偶概念。設P是左A模，若有左A模Q使P⊕Q同構於自由A模，則P稱為投射A模。這等價於：函子HomA(P，-)是正合的；也等價於：對每個滿同態，及每個同態，一定有同態，使得成立，對右A模有類似的定義與性質。任意左A模M必是某一左A投射模的商模；環A作為A模當然是投射模，自由模一定是投射模，投射模一定是平坦模；反之都不一定成立，當環A是主理想整環時，每個投射模都是自由模，塞爾(J.P.Serre)於1955年曾提出一個著名的猜測(塞爾猜測)：域F上的多項式環上的每個有限生成的投射模是否是自由模?奎倫(D.G.Quillen)和蘇斯林(М.Я.Суслин)幾乎同時於1976年用不同方法給以解決(他們得出更強的結果，即只要限制F為主理想整環即可)。另外，交換諾特局部環上每個有限生成的投射模也是自由的，這個結果首先由卡普蘭斯基(I.Kaplansky)於1958年得到，投射模在模論、同調代數、代數K理論中有重要套用。

擬投射模

擬投射模(quasi-projective module)是擬內射模的對偶概念，它比投射模更廣。設M是左A模，若對每個滿同態及每個同態，一定有同態，使得成立，則稱M是擬投射模。投射模一定是擬投射模，若A是半完全環，則A上每個擬投射模是投射模若且唯若A是半單阿廷環，若A是阿廷主理想環，則每個擬投射左A模也是擬內射的，半單模一定是擬投射模。