基本介紹
- 中文名：可除模
- 外文名：divisible module
- 領域：數學
- 性質：一種重要的模
- 意義：可除阿貝爾群的推廣
- 特點：內射模一定是可除模
概念,模,模論,內射模,阿貝爾群,可除阿貝爾群,
概念
可除模(divisible module)是一類重要的模。可除阿貝爾群的推廣。若M是A模，對任意m∈M，和任意非零因子a∈A，總有m′∈M，使得m=am′，則稱m為可除元。若M的元全都是可除元，則稱M為可除模。內射模一定是可除模，反之不一定成立。當環A是戴德金環時，可除模也是內射模。
模
模是一個重要的代數系統。它是一個帶運算元區A的交換(加)群M。給定集合A與交換群M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，並且這個積滿足條件：
1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，
則稱A為M的運算元區，稱M為帶運算元區A的模，又稱為A上的模或A模.這時，由對應(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運算。任意a∈A可誘導出M的自同態aM：x→ax，而考慮交換群M能否成為A模就是看能否給出映射
μ： A→End(M)， a→aM.
特別地，考慮A是結合環，若滿足上述條件1的A模還滿足：
2.(a+b)x=ax+bx;
3.(ab)x=a(bx);
即映射μ：A→End(M)為環同態，則稱M為左A模或左環模。由於A到M上的運算是寫在左側，所以M就稱為左A模，記為AM。類似地，有右A模M，記為MA.若A有單位元1，且又滿足條件
4.1x=x (x∈M);
則稱M為酉模或麼模，以下設A模都是酉模。
模論
模論是抽象代數學的重要組成部分之一，主要研究環上的模。模的概念本質上是域上向量空間的直接推廣。早在19世紀，狄利克雷(Dirichlet，P.G.L.)就曾經考慮過多項式環上的模，20世紀20年代，諾特(Noether，E.)曾一再提出過模的重要作用。交換環上的模在代數幾何中有重要作用，非交換環特別是群環上的模就是群的線性表示，域上的模就是向量空間。到了20世紀40年代，由於環論的需要和同調代數的興起，模論得到了進一步發展。近30年來，已成為同調代數、群論、環論、代數K理論、範疇論等分支學科研究中不可缺少的工具，並在其他數學分支，如代數幾何、拓撲學、泛函分析甚至微分方程等領域裡得到了較廣泛的套用。現代模論已成為內容豐富、文獻浩繁的代數學的一個獨立分支。
內射模
內射模是投射模的對偶概念。設Q是左A模，若函子HomA(-，Q)正合，則稱模Q為內射模；這等價於：對每個單同態f：K→M，及每個同態r：K→Q，一定有同態r-：M→Q，使得r-°f=r成立。對任意模M，一定存在內射模E，使得M是E的子模。若E是左A內射模，且E是左A模M的子模，則E是M的直和因子。若A是環，則存在充分多的左A內射模，例如，若Q是可除阿貝爾群，則HomZ(A，Q)是A內射模。貝爾準則是一個很有用的判別定理：對A的每個左理想I和每個A同態h：I→Q，若h都可開拓成h-：A→Q，即h-|I=h，則Q是內射模；反之亦然.內射模這一概念是由貝爾(Baer，R.)於1940年提出的；詹森(Johnson，R.E.)和黃德華於1961年將投射模、內射模這些概念推廣到擬投射模和擬內射模；山度米爾斯基(Sandomierski)於1964年推廣到相對投射模和相對內射模。
阿貝爾群
阿貝爾群亦稱交換群。一種重要的群類。對於群G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba。若群G的運算滿足交換律，即對任意的a，b∈G都有ab=ba，則稱G為阿貝爾群。由於阿貝爾(Abel，N.H.)首先研究了交換群，所以通常稱這類群為阿貝爾群。交換群的運算常用加法來表示，此時群的單位元用0(零元)表示，a的逆元記為-a(稱為a的負元).用加法表示的交換群稱為加法群或加群。
可除阿貝爾群
可除阿貝爾群是阿貝爾群理論中的重要概念。設G是阿貝爾群，g是G的元素。若對正整數m，在G中存在元素g1，使得g=mg1，則稱元素g在G內可以被m除盡。若p是能夠除盡g的素數p的最大方冪，則稱g在G內的p高度是h；若這樣的素數p的最大方冪不存在，即g可以被素數p的任意方冪除盡，則稱g在G內有無限的p高度。阿貝爾群G的任意元素，若能被任一正整數除盡，則稱G為可除群。群G是可除阿貝爾群，若且唯若對任意素數p，G的每一元素都有無限的p高度。阿貝爾群G是可除群，若且唯若它同構於一些有理數加群Q和擬循環群的直和；而且，每一阿貝爾群同構於可除阿貝爾群的一個子群。阿貝爾群G的任意可除子群D恆為G的直和項。一個阿貝爾群，若它不含非平凡的可除子群，則稱此群為既約阿貝爾群。任意阿貝爾群G內必存在惟一的最大可除群D，使得G=D⊕E，其中E為G的既約阿貝爾子群。
