同調理論與低階K群及其套用

《同調理論與低階K群及其套用》是依託南京大學，由朱曉勝擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：同調理論與低階K群及其套用
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：朱曉勝
• 依託單位：南京大學

項目摘要

本項目旨在研究環、代數的同調性質及其低階K群，建立新的同調維數關係及新的同調群和K群正合列，獲得K群和同調群的新關係；套用同調代數和代數K理論研究關於投射模的Serre問題；結合撓理論與余撓理論，研究一些相對模範疇的K群，由此達到對某些環、代數、模範疇的內部結構的新刻畫。給出一般環的素譜與Rosenberg單邊譜的關係及其各種拓撲性質，從而達到對一些新的環層、環模上的表示等方面的深入研究。利用Mayer-Vietoris序列研究在同態映射下低階K群的變化情況，得到其新特徵。利用C*-代數中的循環六項正合列研究K群的連線映射，以達到對C*-代數中的投影、單位的提升等重要問題的研究。該項研究不僅為一些重要的代數結構的研究注入了新思想、新方法，而且在運算元代數、環論、非交換代數幾何等學科中有著重要的套用。

結題摘要

圍繞申請書中提出的研究任務，我們開展了一系列有效的研究，得到了諸多令人滿意的結果，順利地完成了項目預定的任務。首先，我們對一些重要的範疇、環、代數的低階K群進行了比較深入的研究。我們引入了局部有限BIB-秩和常數BIB-秩的概念，利用BIB-秩，我們給出了半局部環(不必交換)上有限生成投射模是自由的充分必要條件，極大地推廣了Serre在局部環的相應經典結果；同時，我們還研究了K0群的行列式映射，給出了它們的新刻畫；進一步地，我們研究了K0群的狀態空間，得到了由偏序阿貝爾群的同態所誘導的狀態空間的仿射映射是單、滿及雙射的條件，由此建立了半局部環的K0群的狀態空間與其模去Jacobson根而得到的商環的K0群的狀態空間之間的聯繫，推廣了Alfaro等人的結論和Goodearl等人的結論。 其次，我們對一些重要的範疇、環、代數的相對同調理論開展了深入探討與研究。我們利用給定的模類Q和半對偶化模C，定義了新的模類Q(C)，給出了Q(C)的右正交模類是一個特殊的預蓋類的條件；同時，我們將關於Wakamatsu-傾斜模的一些結論成功地運用到Auslander 類 和Bass 類這兩類重要的模類的研究中，得到了這兩類模類的新刻畫；進一步地，我們還對可分範疇的相對投射維數及逼近理論進行了深入的研究，統一和推廣了Araya等人、Auslander等人、Avramov等人、Christensen等人、Holm等人、Sather-Wagstaff等人關於G-維數為0的模、全自反模、Gorenstein投射模、Gorenstein平坦模、C- Gorenstein投射和C- Gorenstein-平坦模等模類的左分解的一些經典維數結果。最後，我們對一些重要的環（代數）進行了進一步的深入研究。我們引入了弱reversible環的概念，給出了這類環的刻畫，推廣了Kim 和Lee的相關結果；同時，我們得到了一個環是弱Armendariz環的充分必要條件。項目申請者的八名博士研究生參與了該項目，其中六人順利畢業並獲得博士學位，另外兩人在讀。本項目組成員完成論文（標註基金資助的論文）十九篇，其中發表SCI論文十一篇，被SCI雜誌接受發表論文七篇。