定義
設
為
的基於
樣本的
的一個
估計量,顯然它依賴於樣本n,為表明這種依賴性,可以記之為
。隨著樣本量的變化,可得到一列估計量,一個自然的希望是,當樣本容量無線增加時,估計量能夠依某種意義接近於被估計量的真值。顯然,這是對估計量的起碼要求。相合性就是這樣的一個要求。
相合估計量
弱相合估計,簡稱為相合估計。
設
為
的基於樣本的
的一個估計量,若對任意固定的
,都滿足:對於任給的
,有
成立,則稱
為
的相合估計量,上述
極限式簡記為
。
強相合估計量
則稱
為
的強相合估計量,上述式子可簡記為境微酷
,這裡a.s.為almost surely的縮寫。
兩者的關係
若對任意固定的
,隨機變數序列
依機率收斂於
;而
則表明對於任何
,
幾乎處處收斂於
,可以證明,強相合估計量必為相合估計量。
相關定理
定理1
設
在
參數空間 上連續,
為
的強相合估計量,i=1,2,...,k,則
為
的強相合估計量。
定理2
設總體有直到k(k≥2)階的矩
。
可表示為
,且G為
連續函式。記
分別為樣旋茅閥本
原點矩和樣本
中心矩,則
為
的強相合估計量。
注意:由該定理可知,矩估計量一般是強相合的。
定理3
(2)對於不同的參數值θ和θ’,所對應的分布不同;
則對於簡單隨機樣本
,θ的
最大似然估計量
存在,且
為θ的相合估計量。
定理4
(2)不同的參數值θ和θ’,所對應的分布不同;
(4)
對θ的
偏導數 在X上存在,並且當
簡單隨機樣本 時,似然方程
有且僅有解
,則
,殼檔戶即
為θ的相合估計量。
典例
例1
證明:
的
密度函式為
,此處
為A的示性函式。故對任意ε>0,有
例2
故有
從而
有且辨斷潤鴉僅有一個解。故似然方程的根必為
極大似然估計量且是相合估計。