相合估計

相合估計

相合估計亦稱為一致估計、相容估計,估計量的一種大樣本性質為:當樣本容量n充分大時,估計量可以以任意的精確程度逼近被估計參數的真值。按收斂意義不同,可以區分不同的相合性,常見的有:弱相合估計、強相合估計、r階相合估計,這三種相合性之間的關係與三種收斂性的關係是完全一致的。相合性是一個估計量所應具備的最基本的性質。

基本介紹

  • 中文名:相合估計
  • 外文名:consistent estimation
  • 別名:相容估計,一致估計
  • 類別:弱相合估計、強相合估計
  • 特點:強相合估計量必為相合估計量
  • 套用領域:數理統計
定義,相合估計量,強相合估計量,兩者的關係,相關定理,定理1,定理2,定理3,定理4,典例,例1,例2,

定義

的基於樣本
的一個估計量,顯然它依賴於樣本n,為表明這種依賴性,可以記之為
。隨著樣本量的變化,可得到一列估計量,一個自然的希望是,當樣本容量無線增加時,估計量能夠依某種意義接近於被估計量的真值。顯然,這是對估計量的起碼要求。相合性就是這樣的一個要求。

相合估計量

弱相合估計,簡稱為相合估計。
的基於樣本的
的一個估計量,若對任意固定的
,都滿足:對於任給的
,有
成立,則稱
的相合估計量,上述極限式簡記為

強相合估計量

若對任何固定的
都有
則稱
的強相合估計量,上述式子可簡記為境微酷
,這裡a.s.為almost surely的縮寫。

兩者的關係

若對任意固定的
,隨機變數序列
依機率收斂於
;而
則表明對於任何
幾乎處處收斂於
,可以證明,強相合估計量必為相合估計量。

相關定理

定理1

參數空間
上連續,
的強相合估計量,i=1,2,...,k,則
的強相合估計量。

定理2

設總體有直到k(k≥2)階的矩
可表示為
,且G為連續函式。記
分別為樣旋茅閥本原點矩和樣本中心矩,則
的強相合估計量。
注意:由該定理可知,矩估計量一般是強相合的。

定理3

設分布族
滿足:
(1)X是有限集
(2)對於不同的參數值θ和θ’,所對應的分布不同;
(3)
有共同支撐,即
與θ無關;
則對於簡單隨機樣本
,θ的最大似然估計
存在,且
為θ的相合估計量。

定理4

設分布族
滿足:
(1)θ為R(一維實空間)中的開集
(2)不同的參數值θ和θ’,所對應的分布不同;
(3)
有共同支撐A;
(4)
對θ的偏導數
在X上存在,並且當簡單隨機樣本
時,似然方程
有且僅有解
,則
,殼檔戶即
為θ的相合估計量。

典例

例1

,則
是θ的有偏估計,但寒連囑它是相合的。
證明:
密度函式
,此處
為A的示性函式。故對任意ε>0,有
可見
為θ的相碑囑合估計。

例2

,證明θ的極大似然估計是相合的。
證明:婆淚院催似然函式
故有
可見
為θ的嚴格單調下降函式。又因為
從而
有且辨斷潤鴉僅有一個解。故似然方程的根必為極大似然估計量且是相合估計。
證明:似然函式
故有
可見
為θ的嚴格單調下降函式。又因為
從而
有且僅有一個解。故似然方程的根必為極大似然估計量且是相合估計。

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