《高維環境中隨機核矩陣的譜分析》是依託湖南師範大學，由曾杏元擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：高維環境中隨機核矩陣的譜分析
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：曾杏元
- 依託單位：湖南師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
近幾十年來，隨機矩陣的理論研究激起了人們的廣泛興趣。對於隨機矩陣，比較成熟的理論是那些以獨立隨機變數為元素，或者是在某些對稱群作用下，具有不變性的矩陣。但是，關於隨機核矩陣的理論研究相對較少。一個n維的核矩陣M，它的第(i, j)個元素具有如下形式：M(i,j)=k(x_i,y_j)，其中x_i,y_j是隨機向量，k是一個二元函式，可能與維數n有關。本項目的研究動機來源於統計、計算機科學以及物理中的一些實際問題，其中隨機核矩陣的譜性質起著很重要的作用。我們將要研究某些隨機核矩陣的譜，包括對稱與非對稱的歐幾里得距離矩陣以及內積核矩陣。在高維環境下，我們希望得到基於特定數據向量的Laplacian類型的核矩陣以及非對稱歐幾里得隨機矩陣的極限譜分布。同時，對於隨機核矩陣的局部譜統計性質、最大特徵值的極限以及極限分布將做深入的研究。此外，我們還將考慮關於數據點所具有的各種不同機率分布的普適性問題。
結題摘要
在大數據時代，經常需要面對樣本的維數p和樣本量n都很大的問題，而核矩陣在物理、多元統計以及機器學習等多個領域都有著廣泛的套用。基於此，我們研究了高維環境下隨機核矩陣的譜性質，取得了如下主要研究進展：1. 對於不同的數據向量來源，在“大p大n”高維環境下，得到了對稱隨機核矩陣的經驗譜分布函式的極限；2. 在小p大n高維環境下，證明了：生成於$l_p$單位球和球面的對稱隨機核矩陣，經過規範化後，它的極限譜分布為著名的半圓率；3. 在“大p大n”高維環境下，得到了Laplacian 類型的隨機核矩陣在譜範數意義下的相合估計，以及極限譜分布；4. 研究了$m$個獨立的隨機Spherical 系綜的乘積，證明了它的極限譜分布是Spherical分布的$m$次冪；5. 得到了隨機矩形矩陣的經驗譜測度的極限；6.得到了非對稱隨機線性核矩陣的極限譜分布以及譜半徑的極限分布。
