球對稱技術在非線性拋物方程和分數拋物方程中的套用

《球對稱技術在非線性拋物方程和分數拋物方程中的套用》是依託山東師範大學，由田玉娟擔任項目負責人的數學天元基金項目。

基本介紹

• 中文名：球對稱技術在非線性拋物方程和分數拋物方程中的套用
• 項目類別：數學天元基金項目
• 項目負責人：田玉娟
• 依託單位：山東師範大學

項目摘要

本項目套用球對稱技術就非線性拋物方程和分數拋物方程展開研究。首先，對關於梯度具有q增長的非線性拋物方程，以尋求徑向指數函式乘因子和指數變數替換為突破口，將原拋物方程轉化為只含零階項的等價方程。通過上述方法探討含所有低階項（q=p-1）的非線性拋物方程解之間的積分比較；研究關於梯度具有一般增長（p-1

結題摘要

對稱方法是偏微分方程研究中的經典方法，特別是了解擬線性方程解的性質的行之有效的方法。本項目套用球對稱技術研究兩類非線性拋物方程，一類帶有梯度非線性項，一類帶有分數階微分運算元。這兩類拋物型方程具有廣泛的套用背景，對其研究有著重要的理論意義。 為了給拋物方程的研究提供理論與技術支持，本項目首先在相關的橢圓問題上取得了兩個重要結果：（1）證明了含所有低階項的橢圓變分不等式與其對稱問題解之間的比較結果，並基於該結果研究了解的正則性；（2）證得了關於梯度具有一般增長的非線性橢圓方程的解與其對稱方程的解之間存在逐點比較，並以此得到了有界弱解的存在性。在這些研究基礎下，對於帶有梯度非線性項的拋物方程，我們取得了如下的成果：（3）我們首次提出一類指數型乘因子，將含所有低階項的拋物方程轉化為只含有零階項的等價方程來進行研究，通過等價方程與等價對稱方程解之間的比較，證明了原拋物方程與對稱拋物方程解之間的加權積分比較結果，這使我們能夠對含所有低階項的拋物方程解的正則性開展更深入的研究；（4）若拋物方程關於梯度具有一般增長條件，我們又構造了一類解的指數變換，同樣能夠將原方程轉化為僅含零階項的等價拋物方程，利用球對稱技術獲得等價方程與等價對稱方程解之間的積分比較，進而證明了原拋物方程有界弱解的存在性。最後，對於雙重非線性分數階拋物方程，已設計轉化雙重非線性到同一非線性項上的技術方案，並藉助Steiner對稱選取了合適的試驗函式用以證明其與對稱方程解之間的積分比較結果，目前正在進行驗證與論文撰寫，後續的工作中將繼續完善該方面的研究。