獨立同分布變數

在機率統計理論中,隨機過程中,任何時刻的取值都為隨機變數,如果這些隨機變數服從同一分布,並且互相獨立,那么這些隨機變數是獨立同分布,這些變數稱為獨立同分布變數。

獨立同分布最早套用於統計學,隨著科學的發展,獨立同分布已經套用數據挖掘,信號處理等不同的領域。

基本介紹

  • 中文名:獨立同分布變數
  • 外文名:Independent and identically distributed variables
  • 歸屬學科機率論
  • 性質:相互獨立且服從同一分布
  • 相關定理中心極限定理
  • 套用統計學;數據挖掘;信號處理
定義,隨機變數,相互獨立,機率分布,例題,

定義

在機率統計理論中,隨機過程中,任何時刻的取值都為隨機變數,如果這些隨機變數服從同一分布,並且互相獨立,那么這些隨機變數是獨立同分布的,這些變數稱為獨立同分布變數。
性質:
(1)服從同一分布
(2)相互獨立

隨機變數

以一維隨機變數為例:
觀察一個隨機現象,其樣本點可以是具有數量性質的,也可能是非數量性質的,前者如拋一枚骰子,可能出現的點數是1點、2點、...、6點;後者如擲一枚硬幣,可能出現正面,也可能出現反面,約定:“出現正面”記為1,“出現反面”記為0。無論是哪一種情形,都體現出這樣的共同點:對隨機試驗的每一個可能結果,有唯一一個實數與之對應。這種對應關係實際上定義了樣本空間
上的函式,
是定義在樣本空間
上的實值單值函式,稱
為一維隨機變數。隨機變數,通常用大寫字母 X,Y,Z,W,...表示

相互獨立

在機率論中,相互獨立,是設
是兩事件,如果滿足等式
,則稱事件
相互獨立,簡稱
獨立。
是試驗
的兩個事件,若
,可以定義
。一般,
的發生對
發生的機率是有影響的,所以條件機率,而只有當
的發生對
的發生沒有有影響的時候才有條件機率
。這時,由乘法定理
註:若
,則
相互獨立與
互不相容不能同時成立,即獨立必相容、互斥必聯繫。
推廣:
是三個事件,如果滿足
,則稱事件
相互獨立。
更一般的定義是,
個事件,如果對於其中任意2個、任意3個、…、任意n個事件的積事件的機率,都等於各個事件機率之積,則稱事件
相互獨立。

機率分布

(1)均勻分布
連續型隨機變數 X 具有機率密度
則稱 X 在區間(a,b)上服從均勻分布,記為
(2)指數分布
設連續型隨機變數 X 具有機率密度
其中,
為常數,則稱 X 服從參數為
的指數分布
(3)常態分配
設連續型隨機變數 X 的機率密度為:
其中,
為常數,則稱X 服從參數為
的常態分配。

例題

已知隨機變數
相互獨立且同分布,方差為
,求
解答:
,則有
將下面的式子帶入,很容易得到:

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